Szuperszimmetria

A szuperszimmetria egy a kiterjesztett dimenziókkal rendelkező terekkel kapcsolatos fogalom, mely a részecskefizika egyik fontos eleme.

A szuperszimmetria elmélete a négyes téridőt szupertérré bővíti, ami ötödik és további dimenziókként nem a négyesteret leíró valós számot, hanem Grassmann-számokat ad hozzá a leíráshoz. A szuperszimmetria az így kiterjesztett téren lehetséges transzformációkkal szembeni szimmetriát jelenti. Jóslata szerint minden általunk ismert részecskének létezik egy – nyilván nagy tömegű, mivel eddig még nem fedeztük fel őket – ún. szuperpartnere. A fermionok szuperpartnere bozon és megfordítva. A szuperszimmetrikus modellek a standard modell sok problémáját képesek megoldani, a részecskefizika egyik mai legfontosabb feladata a szuperszimmetria igazolása avagy kizárása.

A szimmetriák felosztása és jelentősége

Az elemi részecskék esetében két általános érvényű csoportszimmetriát különböztetünk meg:

.  Tér-idő szimmetriák (kifejezetten tér-idő koordináták)

.  Belső szimmetriák (a térelméletben létrehozott különböző tér-idő transzformációkkal van szoros összefüggésben)

$$\Phi ^{a}(x)\longmapsto M_{b}^{a}\Phi ^{b}(x)$$ahol a, b a különböző térindexek. Amennyiben ${\textstyle M_{b}^{a}}$állandó, akkor globális szimmetriának nevezzük, viszont ha ${\textstyle M_{b}^{a}(x)}$ téridő függő, akkor ezt lokális szimmetriának nevezik. A különböző részecskék szimmetriák által meghatározott konzervatív jellegét az eltérő – a téridő és a belső szimmetriák (tömeg, spin, töltés, szín stb.) révén definiált – kvantumszámok határozzák meg. A szimmetriák ugyanakkor a részecskék közti kölcsönhatásokat is előirányozzák, így például a mértékelméletben. A legtöbb kvantumtérelméletben a vektor-bozon (melyek a gyenge kölcsönhatásban is részt vesznek) nem renormalizálhatók. Szemléltetésképp tekintsünk egy ide vonatkozó Lagrange-függvényt:  $${\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\Phi \ \partial ^{\mu }\phi ^{*}-V(\phi ,\phi ^{*})$$amely invariáns a komplex síkban a $$\phi =exp(i\alpha )\phi$$

kifejezéssel, mindaddig, amíg ${\textstyle \alpha }$állandó (vagyis globális szimmetriáról van szó). Amennyiben ugyanis ${\textstyle \alpha =\alpha (x)}$ nem invariáns, ez esetben

$$\partial _{\mu }\phi \longmapsto exp(i\alpha )(\partial _{\mu }\phi +i(\partial _{\mu }\alpha )\phi )$$

Az ún. rejtett szimmetriák jelenléte több alapvető szempontból is fontos. Ez ugyanis egy természetes módszer arra, hogy egy adott rendszert energetikai szempontból  determináljunk. Mint az gyakran megfigyelhető, a standard modell hozzávetőleg 10³ GeV nagyságrendű szféráiban ez egy kulcsfontosságú kritérium a részecskék tömegük alapján történő szeparálásában, vagy például az elektrogyenge mértékbozonok Yukawa-potenciál révén megvalósuló azonosításában. A rejtett szimmetriák mindazonáltal arról is felvilágosítást nyújthatnak, miként kerülnek olykor ellentétbe a már ismert alapvető, természetben előforduló szimmetriák összessége azon szimmetriák néhány típusával, melyek a kísérletek során megfigyelhetőek. Ez jórészt annak köszönhető, hogy a kísérletek során analizált jelenségek főként az állapothatározók normál értékeinél mérhetők.

A Poincaré-szimmetria és a spinorok

A Poincaré-csoport nagyban összefügg a speciális relativitás alapvető szimmetriáival, hatással van a téridő koordinátákra, mint az az alábbiakban látható:

$$x^{\mu }\mapsto x^{'\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\ x^{\nu }+a^{\mu }$$

A Lorentz-transzformáció a metrikus tenzort - ${\textstyle \eta _{\mu \nu }=diag(1;-1;-1;-1)}$- változatlanul hagyja (tehát invariáns):

$$\Lambda ^{T}\eta \Lambda =\eta$$

A Poincaré-csoportot másképpen inhomogén Lorentz-csoportnak is nevezik, illetve gyakran az utóbbit a Poincaré-csoport alcsoportjaként reprezentálják. A csoport generátorai a ${\textstyle M^{\mu \nu }}$(rotáció) és a ${\textstyle P^{\sigma }}$ (transzláció), melynek algebrai kifejtése a következőképp adható meg:

$$[P^{\mu },P^{\nu }]=0$$

$$[M^{\mu \nu },P^{\sigma }]=i(P^{\mu }\eta ^{\nu \sigma }-P^{\nu }\eta ^{\mu \sigma })$$

$$(M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma })=i(M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho })$$

Ilyen módon az ${\textstyle M^{\mu \nu }}$négydimenziós mátrix reprezentációja:

$${(M^{\rho \sigma })^{\mu }}_{\nu }=-i(\eta ^{\mu \sigma }{\delta ^{\rho }}_{\mu }-\eta ^{\rho \mu }{\rho ^{\delta }}_{\nu })$$

További információ

• N. Seiberg, Naturalness Versus Supersymmetric Non-renormalization Theorems, Phys. Lett. B 318 (1993) 469
• Haymaker, Richard W. (1986). „Supersymmetry in quantum mechanics”. American Journal of Physics 54 (10), 928–936. o, Kiadó: American Association of Physics Teachers (AAPT). DOI:10.1119/1.14794. ISSN 0002-9505. 
• Fényes. Atommagfizika II. : részecskék és kölcsönhatásaik (egyetemi tankönyv) (lett nyelven). Debreceni Egyetemi Kiado (2013). ISBN 978-963-318-397-7. OCLC 922687784 

Források

• B. C. Allanacha, F. Quevedo: Supersymmetry. Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, Centre for Mathematical Sciences, University of Cambridge, Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WA, United Kingdom.
• Landau, Lev. Elméleti fizika (lett nyelven). Typotex (2010). ISBN 978-963-279-131-9. OCLC 895345921