Բարդ տոկոս

Արդյունավետ տոկոսադրույք

Տարեկան 20% տոկոսադրույք վաստակելու էֆեկտը ՝ տարբեր բարդ հաճախականություններով սկզբնական 1000 ԱՄՆ դոլարի ներդրման վրա

Բարդ տոկոսը (ճշգրիտ եզրույթն է բաղադրյալ շահ) շահ*, որը հաշվարկվում է (սովորաբար տոկոսով) և՛ հիմնագումարից, և՛ արդեն կուտակված շահից (այսինքն շահադրույքի չափսով ստացված գումարից): Օրինակ՝ ենթադրենք 1000 դրամ ավանդ է դրվում տարեկան 0.1 (կամ 10%) բաղադրյալ շահադրույքով: Առաջին տարվա վերջին ավելանում է 100 դրամ շահ, երկրորդ տարվա վերջին՝ 110 դրամ, այսինքն 100 դրամ՝ սկզբնական հիմնագումարից և 10 դրամ՝ առաջին տարվա շահից: Բանաձևերն ու հաշվարկը ներկայացված են ստորև: Բաղադրյալ շահը լայն կիրառություն ունի ֆինանսների և տնտեսագիտության մեջ։

Բաղադրյալ շահին զուգահեռ կա նաև պարզ շահ (տարածված սխալ տարբերակն է՝ պարզ տոկոսադրույք): Պարզ շահը հաշվարկվում է ավանդի կամ փոխառության միայն հիմնագումարից: Օրինակ՝ ենթադրենք՝ 1000 դրամ ավանդ է դրվում տարեկան 0.08 (կամ 8%) պարզ շահադրույքով: Յուրաքանչյուր տարվա վերջին ավելանում է 80 դրամ շահ, տասը տարվա ընդհանուր շահը 800 դրամ է:

Շահադրույքի միջոցով հաշվարկված պարզ շահը = P*r*t , որտեղ

P - հիմնագումար,

r - անվանական շահադրույք

t - ժամանակ

Մեր օրինակի հաշվարկը կլինի՝ պարզ շահը = 1000*0.08*10=800 դրամ:

*Հայաստանում որպես interest-ի հայերեն տարբերակ առայժմ կիրառվում է ռուսերենից պատճենված «տոկոս» եզրը: Սակայն «տոկոսը» ընդամենը «շահը» չափելու եղանակ է, և չի բացահայտում, որ դա փողի դիմաց տրվող «շահն» է: Բոլորովին էլ պարտադիր չէ, որ այդ շահը լինի դրամային արտահայտմամբ՝ հաշվարկված գումարից՝ տոկոսով: Շահը կարող է արտահայտված լինել ապրանքափոխանակման (Barter Interest), ժամանակային արտոնության (Time Preference), հասարակական (Social Interest), տիրության մասնաբաժնի (Ownership interest), մասնակցությունից օգուտի (Membership Benefits) տեսքով և այլն:

Զարգացած տնտեսություն ունեցող բազմաթիվ երկրների լեզուներում «շահ» տնտեսագիտական հասկացության համար գոյություն ունի առանձին եզր՝ անգլերեն - interest, ֆրանսերեն - intérêt , իտալերեն - interesse, գերմաներեն - zins: Այն, ինչը Հայաստանում այժմ կոչում են «տոկոսադրույք» (և որը պետք է կոչվի «շահադրույք») վերը նշված լեզուներում կոչվում է` interest rate, taux d’ interêt, tasso di interesse, zinssatz, և որևէ կապ չունի «տոկոս»-ի հետ, որի համար բոլոր վերոհիշյալ լեզուներն այլ բառ ունեն:

«Շահը» պետք է նաև չշփոթել «շահույթի» հետ: «Շահը» փողի դիմաց վճարվող գինն է, «շահույթը»՝ տնտեսական գործունեությունից ստացվող եկամտի գերազանցումը ծախսի նկատմամբ: Այսպիսով dividend - շահույթից վճարվող բաժինը պետք է կոչվի շահութաբաժին, այլ ոչ շահաբաժին:

Բարդացման հաճախականություն

Բարդացման հաճախականությունը յուրաքանչյուր տարվա ընթացքում ժամանակաշրջանների քանակն է (հազվադեպ՝ ժամանակի մեկ այլ միավոր), որի ընթացքում պարբերաբար կուտակված տոկոսագումարները վճարվում են կամ կապիտալացվում (հաշվին փոխանցվում) ։ Հաճախականությունը կարող է լինել տարեկան, կիսամյակային, եռամսյակային, ամսական, շաբաթական, ամեն օր կամ շարունակաբար (կամ ընդհանրապես, մինչև հասունությունը) ։

Օրինակ՝ տարեկան տոկոսադրույքով արտահայտված ամսական կապիտալիզացիան նշանակում է, որ բարդացման հաճախականությունը 12 է, այսինքն ամիսներով չափվող ժամանակահատվածներն են։

Բարդության ազդեցությունը կախված է.

1. Կիրառվող անվանական տոկոսադրույքից
2. Տոկոսադրույքի բարդացման հաճախականությունից

Տարեկան տոկոսադրույք

Անվանական տոկոսադրույքը չի կարող ուղղակիորեն համեմատվել տարբեր բարդ հաճախականություններով հաշվարկված վարկերի հետ։ Տոկոսադրույքով հաշվարկվող ֆինանսական գործիքները համեմատելու համար պահանջվում է ինչպես անվանական տոկոսադրույքը, այնպես էլ բարդացման հաճախությունը։

Շատ երկրներ, մանրածախ ֆինանսական արտադրանքը ավելի արդար և հեշտ համեմատելիս գնորդներին օգնելու նպատակով, ֆինանսական հաստատություններից պահանջում են համեմատական հիմունքներով բացահայտել ավանդների կամ կանխավճարների տարեկան բարդ տոկոսադրույքը։ Տարեկան համարժեք հիմքով տոկոսադրույքները կարող են տարբեր շուկաներում տարբեր ձևերով հիշատակվել `տարեկան տոկոսային դրույքաչափ (անգլ.՝ APR), տարեկան համարժեք տոկոսադրույք (անգլ.՝ AER), արդյունավետ տոկոսադրույք, արդյունավետ տարեկան տոկոսադրույք, տարեկան տոկոսային եկամտաբերության և այլ տերմիններով։ Արդյունավետ տարեկան տոկոսադրույք կուտակված ընդհանուր տոկոսն է, որը վճարվելու է մինչև տարվա վերջ, բաժանված հիմնական գումարի։

Սովորաբար այս դրույքաչափերը սահմանող կանոնների երկու կողմ կա.

1. Տոկոսադրույքը տարեկան ընդհանուր տոկոսադրույքն է
2. Բացի տոկոսներից նաև կարող են լինել այլ ծախսեր։ Վճարների կամ հարկերի էֆեկտը, որը հաճախորդը գանձում է, և որոնք ուղղակիորեն կապված են ապրանքի հետ, կարող են ներառվել։ Թե կոնկրետ որ վճարներն ու հարկերը են ներառվում կամ բացառվում սահմանվում է ըստ երկրների, կարող է համեմատվել կամ չհամեմատվել տարբեր իրավասությունների միջև, քանի որ նման տերմինների օգտագործումը կարող է լինել ոչ հետևողական, և տարբեր լինել ըստ տեղական պրակտիկայի։

Օրինակներ

• Բրազիլիայի խնայողական հաշվին 1000 բրազիլական իրական (BRL) ավանդ է ներդրվում` տարեկան 20% տոկոսադրույքով։ Առաջին տարվա վերջում հաշվին հաշվեգրվում է 1.000 x 20% = 200 BRL տոկոսագումար։ Այնուհետև երկրորդ տարում հաշիվը վաստակում է 1,200 x 20% = 240 BRL:
• Ամսական 1% տոկոսադրույքը համարժեք է պարզ տարեկան տոկոսադրույքին (անվանական տոկոսադրույքին) 12% -ի չափով, բայց բարդացման ազդեցությունը հաշվի առնելու դեպքում տարեկան համարժեք բարդ տոկոսադրույքը կազմում է 12.68% (1.01<sup>12</sup> - 1):
• Կորպորատիվ պարտատոմսերի և պետական պարտատոմսերի տոկոսագումարը սովորաբար վճարվում է տարեկան երկու անգամ։ Վճարված տոկոսների չափը (յուրաքանչյուր վեց ամսվա համար) անուիտետի տոկոսադրույքն է, որը բաժանվում է երկուսի և բազմապատկվում է մայր գումարին։ Տարեկան բարդ տոկոսադրույքն ավելի բարձր է, քան անուիտետի տոկոսադրույքը։
• Կանադական վարկերը, ընդհանուր առմամբ, կիսամյակային կտրվածքով բարդացվում են ամսական (կամ ավելի հաճախակի) վճարումներով։
• ԱՄՆ հիփոթեքային վարկերը օգտագործում են որպես ամորտիզացիոն վարկեր, ոչ թե բարդ տոկոսադրույքներով հաշվարկված վարկեր։ Այս վարկերի դեպքում ամորտիզացիայի ժամանակացույցն օգտագործվում է` որոշելու, թե ինչպես կարելի է վճարել մայր գումարը և տոկոսները։ Այս վարկերի գծով առաջացած տոկոսները չեն ավելացվում մայր գումարին, այլ վճարվում են ամսական որպես կիրառվող վճարումներ։
• Երբեմն մաթեմատիկորեն ավելի պարզ է, օրինակ ՝ որոշել ածանցյալների արժեքը ՝ շարունակական բարդ տոկոսը օգտագործելով, որը այն սահմանն է, որի բարդացման ժամանակահատվածը մոտենում է զրոյի։ Շարունական բարդ տոկոսադրույքով այս գործիքների գինը որոշելը Ito հաշվարկի բնական հետևանքն է, որտեղ ֆինանսական ածանցյալները գնահատվում են անընդհատ աճող հաճախականությամբ, մինչև սահմանը մոտենալուն և ածանցյալը գնահատվում է շարունակական ժամանակում։

Զեղչի գործիքներ

• ԱՄՆ-ի և Կանադայի T-մուրհակները (կառավարության կարճաժամկետ պարտք) ունեն այլ կոնվենցիա։ Նրանց տոկոսները հաշվարկվում են զեղչի հիմունքներով որպես (100 - P) / Pbnm, ^{[անհրաժեշտ է պարզաբանում]}, որտեղ P- ն վճարված գինն է։ Այն մեկ տարում նորմալացնելու փոխարեն, տոկոսադրույքը սահմավում է t օրերի քանակով։ (365 / t) 100 ×: (Տե՛ս օրերի հաշվարկի կոնվենցիան)։

Հաշվարկ

Պարբերական բարդացում

Կուտակված ընդհանուր արժեքը, ներառյալ $P$ հիմնական գումարին գումարած $I$ բարդ տոկոսը, տրվում է հետևյալ բանաձևով․։

$P'=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

P սկզբնական հիմնական գումարն է

P' նոր հիմնական գումարն է

r անվանական տարեկան տոկոսադրույքն է

n բարդացման հաճախականությունն է

t տոկոսի կիրառման ընդհանուր երկարությունն է (արտահայտվում է օգտագործելով նույն ժամանակային միավորները, ինչպես r, սովորաբար տարիները)։

Ընդհանուր բարդ տոկոսադրույքը ստացվում է վերջնական արժեքից հանած մայր գումար.

$I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}-P$

Օրինակ 1

Ենթադրենք, 1.500 ԱՄՆ դոլար մայր գումարն ավանդ է դրվել բանկում` տարեկան 4,3% տոկոսադրույքով, եռամսյակային վճարումներով։ Այնուհետև 6 տարի անց մնացորդը որոշվում է վերը նշված բանաձևի միջոցով՝ P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 4, and t = 6:

$P'=1\,500\times \left(1+{\frac {0.043}{4}}\right)^{4\times 6}\approx 1\,938.84$

Այսպիսով նոր մայր գումարը $P'$ 6 տարի անց մոտավորապես հավասար կլինի 1,938.84 ԱՄՆ դոլարի.

Ստացված տոկոսների չափը կարող է հաշվարկվել՝ ստացված նոր մայր գումարից հանելով սկզբնական գումարը։

$1\,938.84-1\,500=438.84$

Օրինակ 2

Ենթադրենք, որ 1,500 ԱՄՆ դոլարի նույն գումարը երկամյա բարդացվում է (յուրաքանչյուր 2 տարին մեկ)։ (Գործնականում դա շատ անսովոր է)։ Այնուհետև 6 տարի անց մնացորդը որոշվում է վերը նշված բանաձևի միջոցով՝ P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 1/2 (տոկոսադրույքն ավելացվում է երկու տարին մեկ), and t = 6 :

$P'=1\,500\times \left(1+(0.043\times 2)\right)^{\frac {6}{2}}\approx 1\,921.24$

Այսպիսով, 6 տարի անց մնացորդը կկազմի մոտավորապես 1,921,24 դոլար։

Ստացված տոկոսների չափը կարող է հաշվարկվել `այդ գումարից մայր գումարը հանելով ։

$1\,921.24-1\,500=421.24$

Նախորդ դեպքի հետ համեմատած տոկոսադրույքը ավելի քիչ է , բարդացման ցածր հաճախության արդյունքում։

Կուտակման գործառույթ

Քանի որ հիմնական P-ն պարզապես գործակից է, այն հաճախ հանվում է պարզության համար, և փոխարենը օգտագործվում է կուտակման գործառույթը։ Կուտակման գործառույթը ցույց է տալիս, թե ինչպես է աճում 1 ԱՄՆ դոլարը ցանկացած ժամանակահատվածից հետո։ Կուտակման գործառույթները պարզ և բարդ տոկոսադրույքների համար հետևյալն են.

$a(t)=1+tr\,$

$a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

Շարունակական բարդացում

Քանի որ n-ը՝ յուրաքանչյուր տարվա բարդացվող ժամանակահատվածների քանակը, ավելանում է առանց սահմանների, ինչը հայտնի է որպես շարունակական բարդացում, որի դեպքում արդյունավետ տարեկան տոկոսադրույքը մոտենում է e^r − 1-ի վերին սահմանին, որտեղ e-ն մաթեմատիկական հաստատուն է, որը լոգարիթմի հիմքն է։

Շարունակական բարդացման ժամանակ բարդացման ժամանակահատվածը անսահմանորեն փոքր է, քանի որ n-ը ձգտում է անսահմանության։ Տե՛ս այս սահմանի էքսպոտենցիալ ֆունկցիայի մաթեմատիկական ապացույցի սահմանումները։ Շարունակական միացման t ժամանակահատվածներից հետո գումարը կարող է արտահայտվել նախնական գումարի չափով՝ որպես P₀

$P(t)=P_{0}e^{rt}.$

Տոկոսադրույքի ուժը

Քանի որ բարդացման ժամանակաշրջանների քանակը $n$ ձգտում է անսահմանության շարունակական բարդացման ժամանակ, շարունակական բարդ տոկոսադրույքը կոչվում է $\delta$ տոկոսադրույքի ուժը։

Մաթեմատիկայում կուտակման գործառույթները հաճախ արտահայտվում են e՝ բնական լոգարիթմի հիմքով։ Սա հեշտացնում է հաշվարկի օգտագործումը `շահեկան բանաձևը շահարկելու համար։

Անընդհատ տարբերակիչ կուտակման a(t) գործառույթի համար տոկոսադրույքի ուժը կամ, առհասարակ, լոգարիթմական կամ անընդհատ բարդացված շահույթը ժամանակի գործառույթ է, որը սահմանված է հետևյալ կերպ.

$\delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)$

Սա կուտակման գործառույթի լոգարիթմական ածանցյալն է։

Հակառակը.

$a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\ ,$ (since $a(0)=1$; սա կարելի է դիտարկել որպես ինտեգրալի հատուկ դեպք)։

Երբ վերը նշված բանաձևը գրվում է դիֆերենցիալ հավասարման ձևաչափով, ապա տոկոսադրույքի ուժը պարզապես փոփոխության գումարի գործակիցն է.

$da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt\,$

Տարեկան կայուն r տոկոսադրույքով բարդ տոկոսադրույքի դեպքում տոկոսադրույքների ուժը կայուն է, իսկ տոկոսադրույքի ուժի տեսանկյունից բարդ տոկոսի կուտակման գործառույթը e-ի պարզ ուժ է.

$\delta =\ln(1+r)\,$ or

$a(t)=e^{t\delta }\,$

Տոկոսադրույքների ուժը պակաս է տարեկան արդյունավետ տոկոսադրույքից, բայց ավելին ՝ քան տարեկան արդյունավետ զեղչի դրույքաչափը։ Այն ժամանակի e կրկնապատման ժամանակի համարժեքն է։

Գնաճի ուժը մոդելավորելու ձևը Stoodleys բանաձևով է.  $\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$, որտեղ p, r and s որոշվում են։

Բարդացման հիմքը

Տոկոսադրույքը մեկ բարդացվող հիմքից այլ բարդացնող հիմքի վերափոխելու համար օգտագործում ենք հետևյալը.

$r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},$

որտեղ,

r₁-ը n₁ բարդացման հաճախականությամբ տոկոսադրույքն է, և r₂-ը n₂ բարդացման հաճախականությամբ տոկոսադրույքն է։

Երբ տոկոսադրույքը շարունակաբար բարդանում է օգտագործում ենք հետևյալը.

$\delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},$

որտեղ,

$\delta$ շարունակաբար բարդացվող հիմքով տոկոսադրույքն է, և r նշված տոկոսադրույքն է n բարդացման հաճախականությամբ։

Ամսական ամորտիզացված վարկի կամ հիփոթեքային վարկի վճարումներ

Ամորտիզացված վարկերի և հիփոթեքային վարկերի տոկոսադրույքները սահուն ամսավճար ունեն մինչև վարկի մարումը, այն հաճախ ամսական բարդանում է։ Վճարների բանաձևը կարելի է գտնել հետևյալ փաստարկից։

Ամսական վճարման ճշգրիտ բանաձև

Ամսական վճարման ճշգրիտ բանաձևն է.

$c={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}$

կամ համարժեք

$c={\frac {Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}$

որտեղ,

$c$ = ամսական վճարումը

$P$ = հիմնական գումարը

$r$ = ամսական տոկոսադրույքը

$n$ = վճարման ժամանակահատվածների քանակը

Դա կարող է ածանցվել` հաշվի առնելով, թե որքան է մնացել մարել յուրաքանչյուր ամսվա ավարտից հետո։

Առաջին ամսվանից հետո մնում է հետևյալ հիմնական գումարը.

$P_{1}=(1+r)P-c,$

այսինքն, նախնական գումարը գումարած տոկոսը վճարումից պակաս է։

Եթե ամբողջ վարկը մարվում է մեկ ամիս հետո, ապա

$P_{1}=0$, այսպիսով $P={\frac {c}{1+r}}$

Երկու ամիս հետո $P_{2}=(1+r)P_{1}-c$ մնում է,

$P_{2}=(1+r)((1+r)P-c)-c$

Եթե երկու ամիս անց ամբողջ վարկը մարվի,

$P_{2}=0$, այսպիսով $P={\frac {c}{1+r}}+{\frac {c}{(1+r)^{2}}}$

Այս հավասարումը ընդհանրացնում է n ամիս ժամկետով, $P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}$: Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի գումարն է.

$P={\frac {c}{r}}\left(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}\right)$,

որը կարող է վերադասավորվել հետևյալ կերպ.

$c={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}={\frac {Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}$

Աղյուսակի բանաձև

Աղյուսակներում օգտագործվում է PMT() գործառույթը։ Շարահյուսությունն է.

PMT( interest_rate, number_payments, present_value, future_value,[Type] )

Տե՛ս Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets լրացուցիչ մանրամասների համար։

Օրինակ, 6% տոկոսադրույքով (0.06 / 12), 25 տարի * 12 p.a., PV- ն ՝ $ 150,000, FV- ն ՝ 0-ով, 0-ի տեսակը տալիս է.

= PMT( 0.06/12, 25 * 12, -150000, 0, 0 )

= $966.45

Ամսական վճարման մոտավոր բանաձև

Մի քանի տոկոսի չափով ճշգրիտ բանաձև կարելի է գտնել ՝ նշելով, որ ԱՄՆ – ի պարտատոմսերի տիպային դրույքաչափերի համար ($I<8\%$ և ժամկետները ՝ $T$=10–30 տարիներ), ամսական պարտատոմսերի տոկոսադրույքը փոքր է 1-ից։ $r<<1$, այսպիսով $\ln(1+r)\approx r$, ինչը պարզեցում է տալիս, որպեսզի այն

$c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}$

որն առաջարկում է սահմանել օժանդակ փոփոխականներ

$Y\equiv nr=IT$

$c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}$.

Այստեղ $c_{0}$ ամսական վճարն է, որը պահանջվում է վճարված զրոյական տոկոսադրույքով վարկի համար $n$ հատ վճարումներով։ Այս փոփոխականների առումով հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

$c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}},$

Այս ֆունկցիան $f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}$ հավասար է։

$f(Y)=f(-Y)$

ենթադրելով, որ այն կարող է ընդլայնվել նույնիսկ $Y$-ի լիազորությունների դեպքում։

Անմիջապես հետևում է, որ ${\frac {Y}{1-e^{-Y}}}$ հնարավոր է ընդլայնել նույնիսկ $Y$-ի լիազորությունների դեպքում գումարած $Y/2.$:

Դրանից հետո հարմար կլինի որոշել.

$X={\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}IT$

այնպես որ,

$c\approx c_{0}{\frac {2X}{1-e^{-2X}}}$,

որը կարող է ընդլայնվել,

$c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}-{\frac {1}{45}}X^{4}+...\right)$

որտեղ էլլիպներում նշվում են տերմիններ, որոնք ավելի բարձր կարգի են `նույնիսկ $X$- ի լիազորություններում։ Ընդարձակումը հետևյալն է.

$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)$

ճիշտ է 1% -ից ավելի տրամադրվածի դեպքում $X\leq 1$:

Հիփոթեքային վարկի վճարման օրինակ

30 տարի ժամկետով և տարեկան վճարվող 4,5% տոկոսադրույքով 10000 ԱՄՆ դոլարի հիփոթեքային վարկի համար մենք որոշում ենք.

$T=30$

$I=0.045$

որը տալիս է,

$X={\frac {1}{2}}IT=.675$

այնպես որ

$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96$

Ճշգրիտ վճարման գումարը կազմում է $P=\$608.02$, այնպես որ մոտարկումը գերագնահատում է մոտավորապես վեց տոկոսի չափով։

Պատմություն

Բարդ տոկոսը ժամանակին համարվում էր վաշխառության ամենավատ տեսակը և խստորեն դատապարտվում էր հռոմեական օրենքով և շատ այլ երկրների ընդհանուր օրենքներով։

Ֆլորենտացի վաճառական Ֆրանչեսկո Բալդուչի Պեգոլոտին ներկայացնում էր առանձնահատուկ հետաքրքրություն ներկայացնող աղյուսակ իր «Pratica della mercatura» գրքում 1340-ական թվականններին։ Այն տոկոսադրույքը տալիս է 100 լարիի դիմաց, տոկոսադրույքները 1%-ից մինչև 8%, մինչև 20 տարի ժամկետով։ Լուչա Պակիոլիի «Թվաբանության սումմա» գիրքը (1494) տալիս է 72-ի կանոն ՝ նշելով, որ կրկնապատկվող բարդ տոկոսադրույքով ներդրման տարիների թիվը գտնելու համար պետք է տոկոսադրույքը բաժանել 72-ի։

Ռիչարդ Ուիթի «Արիթմետիկ հարցեր» գիրքը, որը լույս է տեսել 1613 թվականին, կարևոր նշանակություն ունեցավ բարդ տոկոսադրույքի պատմության մեջ։ Այն ամբողջովին նվիրված էր թեմային (նախկինում կոչվում էր անատոկիզմ), մինչդեռ նախորդ գրողները սովորաբար բարդ տոկոսադրույքին անդրադառնում էին մաթեմատիկական դասագրքի ընդամենը մեկ գլխում։ Ուիթի գրքում տրվել են աղյուսակներ ՝ հիմնվելով 10% -ի (վարկերի համար թույլատրելի տոկոսի առավելագույն տոկոսադրույքը) և տարբեր նպատակներով այլ դրույքաչափեր, ինչպիսիք են գույքի վարձակալության գնահատումը։ Ուիթը լոնդոնյան մաթեմատիկական պրակտիկայով զբաղվող մասնագետ էր, և նրա գիրքը աչքի է ընկնում իր արտահայտման հստակությամբ, խորաթափանցության խորությամբ և հաշվարկման ճշգրտությամբ, 124 աշխատած օրինակներով։

Ջեյքոբ Բեռնուլին հայտնաբերեց հաստատուն $e$ 1683 թվականին ՝ ուսումնասիրելով բարդ տոկոսադրույքի հարցը։

19-րդ դարում և, հավանաբար, ավելի վաղ, պարսկական առևտրականները օգտագործում էին ամսական վճարման բանաձևի Թեյլորի մի փոքր փոփոխված, գծային, մոտարկումը, որը կարելի էր հեշտությամբ հաշվարկել իրենց գլխում։

Արտաքին հղումներ

• Բարդ տոկոս - Էփրիքոթի հետ ներդրողի բառարան
• Compound interest web app

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Բարդ տոկոս» հոդվածին։