Gelanggang (matematika)

Halaman ini berisi artikel tentang struktur aljabar. Untuk gelanggang geometris, lihat Annulus (matematika). Untuk konsep teori himpunan, lihat gelanggang himpunan.

Dalam matematika, gelanggang (bahasa Inggris: ring) merupakan salah satu struktur aljabar yang dibahas dalam aljabar abstrak. Sebuah gelanggang terdiri dari sebuah himpunan dan dua operasi biner yang didasarkan pada operasi aritmetika penjumlahan dan perkalian. Pendasaran tersebut memudahkan teorema-teorema yang berlaku pada aritmetika diterapkan juga dalam objek-objek non-numerik, seperti polinomial, deret, matriks, dan fungsi.

Gelanggang adalah grup abelian dengan operasi biner kedua yang bersifat asosiatif, distributif terhadap operasi dari grup tersebut, dan memiliki unsur identitas. Mengambil istilah aritmetika, operasi yang berasal dari grup disebut penjumlahan dan operasi yang kedua disebut perkalian.

Berlaku atau tidaknya sifat komutatif dalam suatu gelanggang memiliki akibat yang besar pada objek tersebut. Oleh karena itu, teori gelanggang komutatif, atau sering disebut juga aljabar komutatif, adalah topik penting dalam teori gelanggang. Perkembangannya dipengaruhi oleh permasalahan dan ide yang berasal dari teori bilangan aljabar dan geometri aljabar.

Konseptualisasi gelanggang dimulai pada 1870-an dan diselesaikan pada 1920-an. Kontributor utama di antaranya Dedekind, Hilbert, Fraenkel, dan Noether. Gelanggang pertama kali dirumuskan sebagai bentuk umum dari domain Dedekind yang terdapat di teori bilangan, dan dari gelanggang polinomial dan gelanggang invarian yang terdapat di geometri aljabar dan teori invarian. Selanjutnya, gelanggang dipergunakan di cabang-cabang matematika yang lain seperti geometri dan analisis matematis.

Definisi

Bilangan bulat, dengan operasi penjumlahan dan perkalian, membentuk contoh prototipikal dari gelanggang.

Sebuah gelanggang adalah sebuah himpunan R dengan dua operasi biner + dan · yang memenuhi ketiga aksioma berikut, juga disebut aksioma gelanggang

1. R merupakan grup abelian terhadap penjumlahan, artinya:
   • (a + b) + c = a + (b + c) untuk setiap a, b, c dalam R   (dengan kata lain, + bersifat asosiatif).
   • a + b = b + a untuk setiap a, b dalam R   (dengan kata lain, + bersifat komutatif).
   • Terdapat sebuah unsur 0 dalam R yang menyebabkan a + 0 = a untuk setiap a dalam R   (dengan kata lain, terdapat 0 sebagai identitas aditif).
   • Untuk setiap a dalam R terdapat −a dalam R yang menyebabkan a + (−a) = 0   (dengan kata lain, −a adalah invers aditif dari a).
2. R merupakan monoid terhadap perkalian, artinya:
   • (a · b) · c = a · (b · c) untuk setiap a, b, c dalam R   (dengan kata lain, · bersifat asosiatif).
   • Terdapa sebuah unsur 1 dalam R yang menyebabkan a · 1 = a dan 1 · a = a untuk setiap a dalam R   (dengan kata lain, terdapat 1 sebagai identitas perkalian).
3. Perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan, artinya:
   • a ⋅ (b + c) = (a · b) + (a · c) untuk setiap a, b, c dalam R   (distributif kiri).
   • (b + c) · a = (b · a) + (c · a) untuk setiap a, b, c dalam R   (distributif kanan).

Seperti dijelaskan dalam bagian § Sejarah, sebagian penulis memakai ketentuan berbeda di mana sebuah gelanggang tidak perlu memiliki identitas perkalian. Artikel ini menggunakan ketentuan, kecuali ketika disebutkan sebaliknya, bahwa sebuah gelanggang harus memiliki identitas tersebut. Sebagian penulis yang menggunakan ketentuan ini menyebut struktur yang memenuhi semua aksioma kecuali syarat identitas perkalian sebagai rng (biasa dibaca rung) dan sebagian menyebutnya gelanggang semu. Contohnya, himpunan semua bilangan genap dengan operasi + dan ⋅ yang biasa merupakan sebuah rng, tapi bukan sebuah gelanggang.

Operasi + dan ⋅ masing-masing disebut penjumlahan dan perkalian. Simbol perkalian ⋅ biasanya tidak dituliskan; contohnya, xy berarti x ⋅ y.

Meskipun penjumlahan gelanggang bersifat komutatif, perkalian gelanggang tidak harus komutatif: ab tidak harus sama dengan ba. Gelanggang yang perkaliannya memenuhi sifat komutatif (seperti gelanggang bilangan bulat) disebut gelanggang komutatif. Buku yang membahas aljabar komutatif atau geometri aljabar terkadang menyebutkan gelanggang komutatif sebagai gelanggang saja.

Dalam sebuah gelanggang, invers perkalian tidak harus ada. Sebuah gelanggang bukan nol yang setiap unsur bukan nolnya memiliki invers perkalian disebut sebuah medan.

Sifat

Beberapa sifat dasar dari gelanggang yang bisa diperoleh dari aksioma:

• Identitas aditif, invers aditif setiap unsur, dan identitas perkalian bersifat unik.
• Untuk setiap unsur x dalam sebuah gelanggang R, dipenuhi persamaan x0 = 0 = 0x (nol adalah unsur penyerap terhadap perkalian) dan (–1)x = –x.
• Jika 0 = 1 dalam sebuah gelanggang R (atau secara umum, 0 adalah unsur satuan), maka R hanya memiliki satu unsur, dan disebut gelanggang nol.
• Teorema binomial berlaku untuk setiap pasangan unsur yang komutatif (dengan kata lain, untuk setiap x dan y yang memenuhi xy = yx).

Contoh

Bilangan bulat, dengan dua operasi penambahan dan perkalian, membentuk contoh prototipe gelanggang.

Contoh paling familiar dari sebuah gelanggang adalah himpunan dari semua bilangan bulat $\mathbf {Z}$, terdiri dari bilangan

... , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Sifat familiar untuk penjumlahan dan perkalian bilangan bulat berfungsi sebagai model untuk aksioma gelanggang.

Contoh: Bilangan bulat modulo 4

Lihat pula: Aritmetika modular

Lengkapi himpunan $\mathbf {Z} _{4}=\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ dengan operasi berikut:

• Jumlah ${\overline {x}}+{\overline {y}}$ dalam Z₄ adalah sisa ketika bilangan bulat x + y dibagi 4. Contohnya, ${\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}$ dan ${\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}$.
• Hasil kali ${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$ dalam Z₄ adalah sisa ketika bilangan bulat xy dibagi 4. Contohnya, ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}$ dan ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}$.

Maka Z₄ merupakan sebuah gelanggang: setiap aksioma mengikuti aksioma dari Z. Jika x merupakan sebuah bilangan bulat, sisa dari x ketika dibagi 4 bisa dianggap sebagai unsur dari Z₄, dan unsur ini biasa disebut "x mod 4" atau ${\overline {x}}$, sesuai dengan notasi untuk 0, 1, 2, 3. Invers aditif dari setiap ${\overline {x}}$ dalam Z₄ adalah ${\overline {-x}}$. Contohnya, $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$

Contoh: Matriks 2-kali-2

Artikel utama: Gelanggang matriks

Himpunan matriks 2-kali-2 dengan anggota bilangan real ditulis

${\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in \mathbb {R} \right\}.$

Dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks, himpunan ini memenuhi aksioma gelanggang. Unsur ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ adalah identitas perkalian dari gelanggangnya. Jika $A={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ dan $B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$, maka $AB={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$ sedangkan $BA={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$; jadi gelanggang yang ini tidak komutatif.

Secara umum, untuk setiap gelanggang R, komutatif maupun tidak, dengan bilangan bulat non-negatif n manapun, bisa disusun sebuah gelanggang matriks n-kali-n dengan anggota dari R: lihat Gelanggang matriks.

Sejarah

Lihat pula: Teori gelanggang § Sejarah

Richard Dedekind, salah seorang pendiri teori gelanggang.

Dedekind

Penelitian gelanggang berawal dari teori gelanggang polinomial dan teori bilangan bulat aljabar. Pada 1871, Richard Dedekind mendefinisikan konsen gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan. Dalam konteks ini, dia memperkenalkan istilah "ideal" (terinspirasi dari istilah angka ideal dari Ernst Kummer) dan "modul" dan mempelajari sifat-sifat mereka. Namun, Dedekind tidak mengguanakan istilah "ring" dan tidak mendefinisikan konsep gelanggang secara umum.

Hilbert

Istilah "Zahlring" (gelanggang angka) dibuat oleh David Hilbert pada 1892 dan diterbitkan pada 1897. Menurut Harvey Cohn, Hilbert menggunakan istilah gelanggang yang memiliki sifat "berputar kembali" ke unsur itu sendiri. Secara khusus, dalam sebuah gelanggang bilangan bulat aljabar, semua pangkat yang tinggi dari bilangan bulat aljabar bisa ditulis sebagai kombinasi integral dari pangkat-pangkat yang rendah, jadi pangkatnya "berputar". Contohnya, jika a³ − 4a + 1 = 0 maka a³ = 4a − 1, a⁴ = 4a² − a, a⁵ = −a² + 16a − 4, a⁶ = 16a² − 8a + 1, a⁷ = −8a² + 65a − 16, dan seterusnya; secara umum, aⁿ adalah kombinasi linear integral dari 1, a, dan a².

Fraenkel dan Noether

Definisi aksiomatik gelanggang yang pertama diberikan oleh Adolf Fraenkel pada 1914, tapi aksiomanya lebih ketat daripada yang terdapat di definisi modern. Contohnya, dia menetapkan setiap pembagi bukan nol harus memiliki invers perkalian. Pada 1921, Emmy Noether memberikan definisi aksiomatik modern dari gelanggang (komutatif) dan mengembangkan dasar dari teori gelanggang komutatif dalam makalahnya Idealtheorie in Ringbereichen.

Identitas perkalian: wajib vs. pilihan

Fraenkel menetapkan sebuah gelanggang harus memiliki identitas perkalian 1, sedangkan Noether tidak.

Sebagian besar buku aljabar sampai sekitar tahun 1960 mengikuti definisi Noether yang tidak memerlukan 1. Mulai dari 1960-an, menjadi lebih banyak buku yang memerlukan 1 dalam definisi gelanggang, terutama di buku lanjutan oleh penulis terkenal seperti Artin, Atiyah dan MacDonald, Bourbaki, Eisenbud, dan Lang. Meskipun begitu, sekarang masih banyak buku yang tidak memerlukan 1.

Menghadapi ambiguitas ini, sebagian penulis mencoba menekankan pandangkan mereka, sementara sebagian yang lainya mencoba memakai istilah yang lebih persis.

Dari kategori pertama, salah satu contohnya adalah Gardner dan Wiegandt, yang mengatakan bahwa apabila semua gelanggang harus memiliki 1, maka salah satu akibatnya adalah tidak adanya jumlah langsung tak terhingga dari gelanggang, dan yang dijumlah langsung dari gelanggang bukanlah subgelanggang. Mereka menyimpulkan bahwa "dalam banyak, mungkin kebanyakan, cabang teori gelanggang dibutuhkannya keberadaan unsur satuan tidaklah berakal sehat, dan sebab itu tidak bisa diterima." Poonen membuat argumen bantahan: gelanggang tanpa identitas perkalian tidak bersifat asosiatif secara total (hasil kali dari barisan terhingga manapun yang terdiri dari unsur-unsur gelanggang, termasuk barisan kosong, didefinisikan dengan baik, tidak tergantung urutan operasi) dan menulis "lanjutan alamiah dari sifat asosiatif memerlukan gelanggang yang mengandung hasil kali kosong, jadi wajar bila gelanggang memerlukan sebuah 1".

Dalam kategori kedua, beberapa penulis menggunakan istilah-istilah berikut:

• gelanggang dengan identitas perkalian: unital ring, unitary ring, unit ring, ring with unity, ring with identity, atau ring with 1
• gelanggang tanpa identitas perkalian: rng atau pseudo-ring, tapi yang kedua bisa jadi membingungkan karena punya arti lain.

Modul

Artikel utama: Modul (matematika)

Konsep modul di atas gelanggang menggeneralisasi konsep ruang vektor (di atas bidang) dengan menggeneralisasi dari perkalian vektor dengan elemen bidang (perkalian skalar) ke perkalian dengan elemen gelanggang. Lebih tepatnya, diberi gelanggang R dengan 1, sebuah modul-R dengan M adalah grup abelian dilengkapi dengan operasi R × M → M (mengaitkan elemen M ke elemen R dan elemen M) yang memenuhi aksioma tertentu. Operasi ini biasanya dilambangkan dengan perkalian dan disebut perkalian. Aksioma modul adalah sebagai berikut: untuk a, b dalam R dan x, y dalam M, maka:

• M adalah grup abelian di bawah tambahan.
• $a(x+y)=ax+ay$
• $(a+b)x=ax+bx$
• $1x=x$
• $(ab)x=a(bx)$

Ketika gelanggang adalah nonkomutatif aksioma-aksioma ini mendefinisikan modul kiri; modul kompleks didefinisikan serupa dengan xa dari ax. Hal ini bukan hanya perubahan notasi, sebagai aksioma terakhir dari modul kanan (yaitu x(ab) = (xa)b) menjadi (ab)x = b(ax), jika perkalian kiri (dengan elemen gelanggang) digunakan untuk modul kanan.

Contoh dasar modul adalah ideal, termasuk cincin itu sendiri.

Meskipun didefinisikan serupa, teori modul jauh lebih rumit daripada ruang vektor, terutama, karena, tidak seperti ruang vektor, modul tidak dikarakterisasi (hingga isomorfisme) oleh invarian tunggal (dimensi ruang vektor). Secara khusus, tidak semua modul memiliki basis.

Aksioma modul menyiratkan bahwa (−1)x = −x, di mana minus pertama menunjukkan aditif invers di dalam gelanggang dan minus kedua menunjukkan invers penjumlahan di modul. Menggunakan ini dan menunjukkan penambahan berulang dengan perkalian dengan bilangan bulat positif memungkinkan mengidentifikasi kelompok abelian dengan modul di atas gelanggang bilangan bulat.

Lihat pula

• Aljabar di atas cincin komutatif
• Kategori gelanggang
• Glosarium teori gelanggang
• Gelanggang non-asosiatif
• Himpunan gelanggang
• Semigelanggang
• Spektrum gelanggang
• Gelanggang komutatif sederhana

Jenis gelanggang khusus:

• Gelanggang Boolean
• Gelanggang Dedekind
• Gelang diferensial
• Gelanggang eksponensial
• Gelanggang terbatas
• Gelanggang Lie
• Gelanggang lokal
• Noetherian dan Gelanggang Artinian
• Gelanggang urutan
• Gelanggang Poisson
• Gelanggang pengurangan
• Gelanggang reguler
• Gelanggang periode
• Gelanggang SBI
• Nilai gelanggang dan gelanggang nilai diskrit

Referensi

Referensi umum

• Artin, Michael (2018). Algebra (edisi ke-2nd). Pearson. 
• Atiyah, Michael; MacDonald, Ian G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison–Wesley. 
• Bourbaki, N. (1964). Algèbre commutative. Hermann. 
• Bourbaki, N. (1989). Algebra I, Chapters 1–3. Springer. 
• Cohn, Paul Moritz (2003), Basic algebra: groups, rings, and fields, Springer, ISBN 978-1-85233-587-8 .
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer. 
• Gallian, Joseph A. (2006). Contemporary Abstract Algebra, Sixth Edition. Houghton Mifflin. ISBN 9780618514717. 
• Gardner, J.W.; Wiegandt, R. (2003). Radical Theory of Rings. Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 0824750330. 
• Herstein, I. N. (1994) [reprint of the 1968 original]. Noncommutative rings. Carus Mathematical Monographs. 15. With an afterword by Lance W. Small. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-015-X. 
• Hungerford, Thomas W. (1997). Abstract Algebra: an Introduction, Second Edition. Brooks/Cole. ISBN 9780030105593. 
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 1 (edisi ke-2nd). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. 
• Jacobson, Nathan (1964). "Structure of rings". American Mathematical Society Colloquium Publications (edisi ke-Revised). 37. 
• Jacobson, Nathan (1943). "The Theory of Rings". American Mathematical Society Mathematical Surveys. I. 
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (edisi ke-Revised), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42454-5, MR 0345945 .
• Lam, Tsit Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Lam, Tsit Yuen (2003). Exercises in classical ring theory. Problem Books in Mathematics (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-00500-5. 
• Lam, Tsit Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics. 189. Springer. ISBN 0-387-98428-3. 
• Templat:Lang Algebra.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6. 
• Milne, J. "A primer of commutative algebra". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-05-30. Diakses tanggal 2021-02-01. 
• Rotman, Joseph (1998), Galois Theory (edisi ke-2nd), Springer, ISBN 0-387-98541-7 .
• van der Waerden, Bartel Leendert (1930), Moderne Algebra. Teil I, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 33, Springer, ISBN 978-3-540-56799-8, MR 0009016 .
• Warner, Seth (1965). Modern Algebra. Dover. ISBN 9780486663418. 
• Wilder, Raymond Louis (1965). Introduction to Foundations of Mathematics. Wiley. 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958). Commutative Algebra. 1. Van Nostrand. 

Referensi khusus

• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2 
• Ballieu, R. (1947). "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif". Ann. Soc. Sci. Bruxelles. I (61): 222–227. 
• Berrick, A. J.; Keating, M. E. (2000). An Introduction to Rings and Modules with K-Theory in View. Cambridge University Press. 
• Cohn, Paul Moritz (1995), Skew Fields: Theory of General Division Rings, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 57, Cambridge University Press, ISBN 9780521432177 
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 
• Gilmer, R.; Mott, J. (1973). "Associative Rings of Order". Proc. Japan Acad. 49: 795–799. doi:10.3792/pja/1195519146 . 
• Harris, J. W.; Stocker, H. (1998). Handbook of Mathematics and Computational Science. Springer. 
• Isaacs, I. M. (1994). Algebra: A Graduate Course. AMS. ISBN 978-0-8218-4799-2. 
• Jacobson, Nathan (1945), "Structure theory of algebraic algebras of bounded degree", Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, 46 (4): 695–707, doi:10.2307/1969205, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969205 
• Knuth, D. E. (1998). The Art of Computer Programming. Vol. 2: Seminumerical Algorithms (edisi ke-3rd). Addison–Wesley. 
• Korn, G. A.; Korn, T. M. (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Dover. ISBN 9780486411477. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-29. Diakses tanggal 2021-02-01. 
• Milne, J. "Class field theory". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-03-14. Diakses tanggal 2021-02-01. 
• Nagata, Masayoshi (1962) [1975 reprint], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, Interscience Publishers, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856 
• Pierce, Richard S. (1982). Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics. 88. Springer. ISBN 0-387-90693-2. 
• Poonen, Bjorn (2018), Why all rings should have a 1 (PDF), arXiv:1404.0135 , diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-05-05, diakses tanggal 2021-02-01 
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Springer 
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory, Lecture Notes in Mathematics, 585, Springer, ISBN 9783540373704, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-29, diakses tanggal 2021-02-01 
• Weibel, Charles. "The K-book: An introduction to algebraic K-theory". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2017-01-05. Diakses tanggal 2021-02-01. 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975). Commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics. 28–29. Springer. ISBN 0-387-90089-6. 

Sumber primer

• Fraenkel, A. (1915). "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. Reine Angew. Math. 145: 139–176. 
• Hilbert, David (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 4. 
• Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annalen. 83 (1–2): 24–66. doi:10.1007/bf01464225. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-05-26. Diakses tanggal 2021-02-01. 

Referensi sejarah

• History of ring theory at the MacTutor Archive Diarsipkan 2017-04-24 di Wayback Machine.
• Garrett Birkhoff dan Saunders Mac Lane (1996) A Survey of Modern Algebra, edisi ke-5. New York: Macmillan.
• Bronshtein, I. N. dan Semendyayev, K. A. (2004) Handbook of Mathematics, edisi ke-4. New York: Springer-Verlag ISBN 3-540-43491-7.
• Faith, Carl (1999) Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra. Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society ISBN 0-8218-0993-8.
• Itô, K. editor (1986) "Rings." §368 dalam Encyclopedic Dictionary of Mathematics, edisi ke-2., Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press.
• Israel Kleiner (1996) "The Genesis of the Abstract Ring Concept", American Mathematical Monthly 103: 417–424 DOI:10.2307/2974935
• Kleiner, I. (1998) "From numbers to rings: the early history of ring theory", Elemente der Mathematik 53: 18–35.
• B. L. van der Waerden (1985) A History of Algebra, Springer-Verlag,