Teori gelanggang

Dalam aljabar, teori gelanggang adalah studi tentang gelanggang^[1] struktur aljabar di mana penjumlahan dan perkalian ditentukan dan memiliki sifat yang mirip dengan operasi ditentukan untuk bilangan bulat. Teori gelanggang mempelajari struktur gelanggang, representasi, atau, dalam bahasa yang berbeda, modul, kelas khusus gelanggang (grup gelanggang, gelanggang pembagian, aljabar pembungkus universal), serta sifat yang terbukti dalam teori dari sifat homologis dan identitas polinomial.

Gelanggang komutatif jauh lebih dipahami dari gelanggang nonkomutatif. Geometri aljabar dan teori bilangan aljabar, yang memberikan banyak contoh alami gelanggang komutatif, telah mendorong banyak perkembangan teori gelanggang komutatif, yang sekarang, dengan nama aljabar komutatif , bidang utama matematika modern. Karena tiga bidang (geometri aljabar, teori bilangan aljabar, dan aljabar komutatif) saling terkait, biasanya sulit dan tidak berarti untuk memutuskan bidang. Misalnya, Hilbert Nullstellensatz adalah teorema fundamental untuk geometri aljabar, dan dibuktikan dalam aljabar komutatif. Maka, teorema terakhir Fermat dalam istilah dasar aritmetika, yang merupakan bagian dari aljabar komutatif, tetapi pembuktiannya melibatkan hasil yang mendalam dari teori bilangan aljabar dan aljabar.

Gelanggang nonkomutatif memiliki sifat tidak biasa. Sedangkan teori telah berkembang dengan sendiri, telah berusaha untuk paralel dengan perkembangan komutatif dengan membangun teori kelas dari gelanggang nonkomutatif dalam gaya geometri adalah gelanggang dari fungsi pada 'ruang nonkomutatif'. Hal ini dimulai pada 1980-an dengan perkembangan geometri nonkomutatif dan dengan penemuan grup kuantum. Hal ini mengarah pada pemahaman yang lebih baik tentang gelanggang nonkomutatif, terutama gelanggang Noetherian nonkomutatif.^[2]

Untuk definisi gelanggang dan konsep dasar serta propertinya, lihat gelanggang (matematika) . Definisi dari istilah yang digunakan di seluruh teori gelanggang dapat ditemukan di Glosarium teori gelanggang .

Gelanggang komutatif

Gelanggang disebut komutatif jika perkaliannya komutatif. Gelanggang komutatif dari sistem bilangan yang sudah dikenal, dan berbagai definisi untuk gelanggang komutatif dirancang untuk memformalkan sifat bilangan bulat. Gelanggang komutatif juga penting dalam geometri aljabar. Dalam teori gelanggang komutatif, bilangan diganti dengan ideal, dan definisi dari ideal prima pada esensi dari bilangan prima. Domain integral, gelanggang komutatif non-trivial di mana tidak memiliki dua elemen bukan nol yang dikalikan menjadi nol, generasi dari sifat lain dari bilangan bulat dan berfungsi sebagai bidang untuk mempelajari keterpisahan. Domain ideal utama adalah domain integral di mana setiap ideal dapat dihasilkan oleh satu elemen, sifat lain dengan bilangan bulat. Domain Euklides adalah domain integral di mana algoritma Euklides. Contoh penting dari gelanggang komutatif dapat dibuat sebagai gelanggang polinomial: Domain Euklides ⊂ domain ideal utama ⊂ domain faktorisasi ⊂ domain integral ⊂ gelanggang komutatif.

Geometri aljabar

Geometri aljabar dalam banyak hal merupakan bayangan cermin dari aljabar komutatif. Korespondensi dimulai dengan Hilbert Nullstellensatz dimana korespondensi satu-ke-satu antara titik dari sebuah varietas aljabar, dan ideal maksimal dari gelanggang koordinat. Korespondensi ini telah diamati dan disistematisasi untuk transisi (dan membuktikan) sebagian besar sifat geometri dari varietas aljabar menjadi sifat aljabar dari gelanggang komutatif terkait. Alexander Grothendieck menyelesaikan dengan skema, generalisasi varietas aljabar dari gelanggang komutatif. Lebih tepatnya, spektrum dari gelanggang komutatif adalah ruang dari ideal utama dimana topologi Zariski ditambahkan dengan berkas gelanggang. Objek ini adalah "skema affine" (generalisasi varietas affine), dan skema umum kemudian diperoleh dengan "merekatkan" (dengan metode aljabar murni) beberapa skema affine, dalam analogi cara membuat manifold dengan merekatkan bagan dari atlas.

Gelanggang nonkomutatif

Gelanggang nonkomutatif dengan gelanggang matriks dalam banyak hal. Mengikuti model geometri aljabar, telah dilakukan upaya untuk mendefinisikan geometri nonkomutatif berdasarkan gelanggang nonkomutatif. Gelanggang nonkomutatif dan aljabar asosiatif (gelanggang yang juga ruang vektor) dipelajari melalui modul kategori. Modul di atas gelanggang adalah grup abelian di mana gelanggang sebagai gelanggang endomorfisme, dengan bidang (domain integral di mana setiap elemen bukan nol invers) ruang vektor. Contoh gelanggang nonkomutatif dari gelanggang persegi matriks atau dengan gelanggang endomorfisma grup atau modul abelian, dan gelanggang monoid.

Teori repsentasi

Teori representasi adalah cabang matematika untuk gelanggang non-komutatif. Mempelajari abstrak struktur aljabar abstrak dengan merepresentasikan elemen sebagai transformasi linear dari ruang vektor, dan modul di atas struktur aljabar abstrak. Intinya, representasi objek aljabar abstrak lebih konkret dengan mendeskripsikan elemennya dengan matriks dan operasi aljabar dalam hal penambahan matriks dan perkalian matriks tidak komutatif. Objek aljabar setuju dengan deskripsi grup, aljabar asosiatif dan aljabar Lie. Teori representasi grup di mana elemen suatu grup dari matriks invers sehingga operasi grup tersebut adalah perkalian matriks.

Beberapa teorema relevan

Umum

Teorema struktur

Teorema Artin–Wedderburn menentukan struktur gelanggang setengah sederhana
Teorema kerapatan Jacobson menentukan struktur gelanggang primitif
Teorema Goldie menentukan struktur semiprime gelanggang Goldie
Teorema Zariski–Samuel menentukan struktur komutatif gelanggang ideal utama.
Teorema Hopkins–Levitzki memberikan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk gelanggang Noetherian menjadi gelanggang Artinian
Teori Morita terdiri dari teorema yang menentukan kapan dua gelanggang memiliki kategori modul "ekuivalen"
Teorema Cartan–Brauer–Hua memberikan wawasan tentang struktur gelanggang pembagian
Teorema kecil Wedderburn menyatakan bahwa domain adalah bidang

Lain

Teorema Skolem–Noether mencirikan automorfisme dari gelanggang sederhana

Struktur dan invarian gelanggang

Dimensi gelanggang komutatif

R menunjukkan gelanggang komutatif. Dimensi Krull dari R adalah supremum dari panjang n dengan kaidah ideal utama ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ . Gelanggang polinomial $k[t_{1},\cdots ,t_{n}]$ di atas bidang k dengan dimensi n . Teorema fundamental teori dimensi dari bilangan gelanggang lokal noetherian $(R,{\mathfrak {m}})$ :^[3]

Dimensi Krull dari R .
Jumlah minimum generator ideal- ${\mathfrak {m}}$ .
Dimensi gelanggang $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ (ekuivalen 1 ditambah derajat dari polinomial Hilbert).

Gelanggang komutatif R digunakan gelanggang Catenary jika ideal utama ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$ , kaidah ideal utama hingga ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ dalam ideal prima tambahan antara dua ideal dalam rantai, dan kaidah antara ${\mathfrak {p}}$ dan ${\mathfrak {p}}'$ . Gelanggang noetherian dalam aplikasi bersifat katener. Ratliff membuktikan bahwa domain integral lokal noetherian R adalah Catenary jika dan hanya jika untuk prima ${\mathfrak {p}}$ ,

\operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}

dimana $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$ adalah ketinggian dari ${\mathfrak {p}}$ .^[4]

Jika R adalah domain integral merupakan aljabar k tak hingga maka dimensi derajat transendensi dari bidang pecahan di atas k . Jika S adalah ekstensi integral dari gelanggang komutatif R , maka S dan R memiliki dimensi.

Konsep terkait adalah konsep kedalaman dan dimensi global. Secara umum, jika R adalah gelanggang lokal noetherian, maka kedalaman R kurang dari atau sama dengan. Jika kesetaraan R disebut gelanggang Cohen–Macaulay. Gelanggang lokal reguler adalah contoh gelanggang Cohen–Macaulay. Teorema Serre bahwa R adalah gelanggang lokal jika dan hanya jika dimensi global hingga dan dimensi global adalah dimensi Krull dari R . Dari hal ini adalah bahwa dimensi global adalah homologis.

Kesetaraan Morita

Dua gelanggang R , S yaitu kesetaraan Morita jika kategori modul kiri di atas R setara dengan kategori modul kiri di atas S . Maka, dua gelanggang komutatif ekuivalen Morita isomorfik, jadi tidak menambahkan sesuatu ke kategori dari gelanggang komutatif. Namun, gelanggang komutatif menjadi ekuivalen Morita dengan gelanggang nonkomutatif, jadi ekuivalen Morita dari isomorfisme. Ekuivalen Morita digunakan dalam topologi aljabar.

Aplikasi

Gelanggang bilangan bulat dari bidang angka

Gelanggang koordinat dari suatu ragam aljabar

Jika X adalah ragam aljabar affine, maka himpunan semua fungsi reguler pada X membentuk sebuah gelanggang yang disebut gelanggang koordinat dari X . Untuk variasi proyektif, ada cincin analog yang disebut gelanggang koordinat homogen. Gelanggang itu pada dasarnya sama dengan varietas: mereka pada dasarnya berhubungan dengan cara yang unik. Ini dapat dilihat baik melalui Hilbert Nullstellensatz atau konstruksi skema-teori (yaitu, Spec dan Proj).

Gelanggang invarian

Pertanyaan mendasar (dan mungkin yang paling mendasar) dalam teori invarian klasik adalah menemukan dan mempelajari polinomial pada gelanggang polinomial $k[V]$ yang invarian di bawah aksi grup terbatas (atau lebih umum reduktif) G pada V . Contoh utamanya adalah gelanggang polinomial simetris: simetris polinomial adalah polinomial yang tidak berubah di bawah permutasi variabel. Teorema fundamental polinomial simetris menyatakan bahwa gelanggang $R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ dimana $\sigma _{i}$ adalah polinomial simetris dasar.

Sejarah

Teori gelanggang komutatif berasal dari teori bilangan aljabar, geometri aljabar, dan teori invarian. Pusat pengembangan mata pelajaran ini adalah gelanggang bilangan bulat di medan bilangan aljabar dan medan fungsi aljabar, bahkan gelanggang polinomial dalam dua variabel atau lebih. Teori gelanggang nonkomutatif dimulai dengan upaya untuk memperluas bilangan kompleks ke berbagai sistem bilangan hiperkompleks. Asal usul teori gelanggang komutatif dan nonkomutatif berasal dari awal abad ke-19, sedangkan kematangannya hanya dicapai pada dekade ketiga abad ke-20.

Lebih tepatnya, William Rowan Hamilton mengemukakan kuaternion dan bikuaternion, James Cockle mempresentasikan tessarine dan kokuaternion, bahkan William Kingdon Clifford adalah seorang penggemar bikuaternion terbagi yang disebut sebagai motor aljabar. Aljabar nonkomutatif ini, dan aljabar Lie non-asosiatif, dipelajari dalam perpecahan universal sebelum subjek dibagi menjadi tipe struktur matematika tertentu. Salah satu tanda reorganisasi adalah penggunaan jumlah langsung untuk menggambarkan struktur aljabar.

Berbagai bilangan hiperkompleks diidentifikasi dengan gelanggang matriks oleh Joseph Wedderburn (1908) dan Emil Artin (1928). Teorema struktur Wedderburn dirumuskan untuk aljabar di atas medan dimensi-hingga sementara Artin menggeneralisasikannya menjadi gelanggang Artinian.

Catatan

^ Teori gelanggang mungkin termasuk juga studi tentang rng.
^ Goodearl & Warfield (1989).
^ Matsumura 1989, Theorem 13.4
^ Matsumura 1989, Theorem 31.4

Referensi

Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups (edisi ke-Second), Edward Arnold, London, hlm. xxvi+383, ISBN 0-7131-3476-3, MR 1144518
Blyth, T.S.; Robertson, E.F. (1985), Groups, Rings and Fields: Algebra through practice, Book 3, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27288-2
Faith, Carl (1999), Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra, Mathematical Surveys and Monographs, 65, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0993-8, MR 1657671
Goodearl, K. R.; Warfield, R. B., Jr. (1989), An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, London Mathematical Society Student Texts, 16, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-36086-2, MR 1020298
Judson, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: Theory and Applications, diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-08-30, diakses tanggal 2021-03-10
Kimberling, Clark (1981), "Emmy Noether and Her Influence", dalam Brewer, James W; Smith, Martha K, Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, Marcel Dekker, hlm. 3–61
Lam, T. Y. (1999), Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, 189, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 0-387-98428-3, MR 1653294
Lam, T. Y. (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Graduate Texts in Mathematics, 131 (edisi ke-Second), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439
Lam, T. Y. (2003), Exercises in Classical Ring Theory, Problem Books in Mathematics (edisi ke-Second), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-00500-5, MR 2003255
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 (edisi ke-Second), Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6, MR 1011461
McConnell, J. C.; Robson, J. C. (2001), Noncommutative Noetherian Rings, Graduate Studies in Mathematics, 30, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/030, ISBN 0-8218-2169-5, MR 1811901
O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (September 2004), "The development of ring theory", MacTutor History of Mathematics Archive, diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-10-30, diakses tanggal 2021-01-31
Pierce, Richard S. (1982), Associative Algebras, Graduate Texts in Mathematics, 88, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90693-2, MR 0674652
Rowen, Louis H. (1988), Ring Theory, Vol. I, Pure and Applied Mathematics, 127, Boston, MA: Academic Press, ISBN 0-12-599841-4, MR 0940245 . Vol. II, Pure and Applied Mathematics 128, ISBN 0-12-599842-2.
Weibel, Charles A. (2013), The K-book: An introduction to algebraic K-theory, Graduate Studies in Mathematics, 145, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-9132-2, MR 3076731

[1] Teori gelanggang mungkin termasuk juga studi tentang rng.

[FOOTNOTEGoodearlWarfield1989-2] Goodearl & Warfield (1989).

[3] Matsumura 1989, Theorem 13.4

[4] Matsumura 1989, Theorem 31.4

[1]

[2]

[3]

[4]