Rak dan ganjalan

Dalam matematika, rak dan ganjalan adalah himpunan dengan aksioma pemuas operasi biner dimana analog dengan gerakan Reidemeister yang digunakan untuk memanipulasi diagram simpul.

Meskipun sebagian besar digunakan untuk mendapatkan invarian simpul, hal tersebut dipandang sebagai konstruksi aljabar dengan hak sendiri. Secara khusus, definisi dari sebuah ganjalan melakukan aksioma pada properti dari konjugasi dalam group.

Sejarah

Pada tahun 1943, Mituhisa Takasaki (高崎光久) memperkenalkan struktur aljabar yang disebutnya Kei (圭), yang kemudian akan dikenal sebagai ganjalan involutif.^[1] Motivasinya adalah untuk menemukan struktur aljabar non-asosiatif untuk gagasan tentang refleksi dalam konteks geometri hingga. Ide tersebut ditemukan kembali dan digeneralisasikan pada tahun (tidak diterbitkan) 1959 korespondensi antara John Conway dan Gavin Wraith,^[2] pada saat itu adalah mahasiswa sarjana di Universitas Cambridge. Di sinilah definisi modern tentang ganjalan dan rak pertama kali muncul. Wraith menjadi tertarik pada struktur ini (yang awalnya dia sebut sekuensial) saat di sekolah.^[3] Conway menamainya kembali wrak sebagai pelesetan nama koleganya, dan sebagian karena mereka muncul sebagai sisa-sisa (atau 'rak dan rak') dari grup ketika seseorang membuang struktur perkalian dan hanya mempertimbangkan struktur konjugasi. Ejaan 'rak' sekarang menjadi lazim.

Konstruksi ini muncul kembali pada 1980-an: dalam makalah 1982 oleh David Joyce^[4] (dimana istilah ganjalan diciptakan),^[5] dalam sebuah makalah tahun 1982 oleh Sergei Matveev (dengan nama grupoid distributif)^[6] dan dalam makalah konferensi 1986 oleh Egbert Brieskorn (di mana mereka disebut himpunan automorfik).^[7] Tinjauan rinci tentang rak dan aplikasinya dalam teori simpul dapat ditemukan di makalah oleh Colin Rourke dan Roger Fenn.^[8]

Rak

Rak dapat didefinisikan sebagai satu himpunan $\mathrm {R}$ dengan operasi biner $\triangleleft$ sedemikian rupa untuk setiap $a,b,c\in \mathrm {R}$ sebagai hukum distribusi sendiri, yaitu:

a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)

dan untuk setiap $a,b\in \mathrm {R} ,$ adalah $c\in \mathrm {R}$ yaitu

a\triangleleft c=b.

Definisi ini, meskipun singkat dan umum digunakan, adalah suboptimal untuk tujuan tertentu karena pembilang eksistensial yang sebenarnya tidak diperlukan. Untuk menghindari hal ini, kita dapat menulis $c\in \mathrm {R}$ yaitu $a\triangleleft c=b$ sebagai $b\triangleright a.$ Kita memiliki

a\triangleleft c=b\iff c=b\triangleright a,

dan dengan demikian

a\triangleleft (b\triangleright a)=b,

dan

(a\triangleleft b)\triangleright a=b.

Menggunakan ide ini, rak didefinisikan secara ekuivalen sebagai satu himpunan $\mathrm {R}$ dengan dua operasi biner $\triangleleft$ dan $\triangleright$ sedemikian rupa maka untuk semua $a,b,c\in \mathrm {R} {\text{:}}$

$a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)$ (hukum distribusi sendiri kiri)
$(c\triangleright b)\triangleright a=(c\triangleright a)\triangleright (b\triangleright a)$ (hukum distribusi sendiri kanan)
$(a\triangleleft b)\triangleright a=b$
$a\triangleleft (b\triangleright a)=b$

Mudah untuk mengatakan bahwa elemen $a\in \mathrm {R}$ bertindak dari kiri dalam ekspresi $a\triangleleft b,$ dan bertindak dari kanan dalam ekspresi $b\triangleright a.$ Aksioma rak ketiga dan keempat untuk tindakan kiri dan kanan ini adalah kebalikan dari satu sama lain. Dengan menggunakan ini, kita dapat menghilangkan salah satu tindakan dari definisi rak. Jika kita menghilangkan tindakan yang benar dan mempertahankan yang kiri, kita mendapatkan definisi singkat yang diberikan pada awalnya.

Banyak kebaktian berbeda digunakan dalam literatur tentang rak dan ganjalan. Misalnya, banyak penulis lebih suka bekerja hanya dengan tindakan benar. Selanjutnya penggunaan simbol $\triangleleft$ dan $\triangleright$ sama sekali tidak universal: banyak penulis menggunakan notasi eksponensial

a\triangleleft b={}^{a}b

dan

b\triangleright a=b^{a},

sementara banyak yang lainnya menulis

b\triangleright a=b\star a.

Namun definisi lain yang setara dari rak adalah satu himpunan dimana setiap elemen bertindak di kiri dan kanan sebagai automorfisme rak, dengan tindakan kiri menjadi invers dari tindakan kanan. Dalam definisi ini, fakta bahwa setiap elemen bertindak sebagai automorfisme mengkodekan hukum distribusi sendiri kiri dan kanan, dan hukum berikut:

{\begin{aligned}a\triangleleft (b\triangleright c)&=(a\triangleleft b)\triangleright (a\ \triangleleft c)\\(c\triangleleft b)\triangleright a&=(c\triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\end{aligned}}

yang merupakan konsekuensi dari definisi yang diberikan sebelumnya.

Ganjalan

Ganjalan adalah definisi rak $\mathrm {Q} ,$ sedemikian rupa maka untuk semua $a\in \mathrm {Q}$

a\triangleleft a=a,

atau ekuivalen

a\triangleright a=a.

Contoh dan aplikasi

Setiap grup memberikan ganjalan dimana operasi berasal dari konjugasi:

{\begin{aligned}a\triangleleft b&=aba^{-1}\\b\triangleright a&=a^{-1}ba\\&=a^{-1}\triangleleft b\end{aligned}}

Faktanya, setiap hukum persamaan yang dipenuhi oleh konjugasi dalam sebuah kelompok mengikuti aksioma quandle. Jadi, seseorang dapat menganggap sebuah ganjalan sebagai apa yang tersisa dari sebuah grup ketika perkalian, identitas, dan invers, dan hanya mengingat operasi konjugasi.

Setiap simpul jinak di tiga dimensi ruang Euclidean memiliki 'ganjalan fundamental'. Untuk mendefinisikan, kita dapat mencatat bahwa grup fundamental dari komplemen simpul, atau grup simpul, memiliki presentasi (presentasi Wirtinger) dimana relasinya hanya melibatkan konjugasi. Jadi, presentasi ini bisa digunakan sebagai presentasi ganjalan. Ganjalan fundamental adalah simpul invarian yang sangat kuat. Secara khusus, jika dua simpul memiliki ganjalan fundamental isomorfik maka terdapat homeomorfisme ruang Euklidean tiga dimensi sebagai orientasi invers, mengambil satu simpul ke simpul lainnya.

Invarian simpul yang kurang kuat tetapi lebih mudah dihitung untuk diperoleh dengan menghitung homomorfisme dari simpul ganjalan ke ganjalan tetap $\mathrm {Q} .$ Karena presentasi Wirtinger memiliki satu generalisasi untuk setiap untai dalam diagram simpul, invarian ini dapat dihitung dengan menghitung cara pelabelan setiap untai dengan elemen $\mathrm {Q} ,$ . Invarian yang lebih canggih semacam ini dapat dibangun dengan bantuan quandle cohomology.

Ganjalan Alexander termasuk hal yang penting, karena dapat digunakan untuk menghitung polinomial Alexander dari simpul. Maka $\mathrm {A}$ menjadi modul di atas gelanggang $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$ dari polinomial Laurent dalam satu variabel. Maka ganjalan Alexander adalah $\mathrm {A}$ dibuat menjadi ganjalan dengan tindakan kiri yang diberikan oleh

a\triangleleft b=tb+(1-t)a.

Rak adalah generalisasi yang berguna dari ganjalan dalam topologi, karena ganjalan dapat merepresentasikan simpul pada objek linear bulat (seperti tali atau benang), rak bisa mewakili pita, yang bisa dipelintir atau diikat.

sebuah ganjalan $\mathrm {Q}$ sebagai tidak ganjalan jika untuk semua $a,b\in \mathrm {Q} ,$

a\triangleleft (a\triangleleft b)=b

atau ekuivalen

(b\triangleright a)\triangleright a=b.

Setiap ruang simetri menghasilkan ganjalan tak duga, dimana $a\triangleleft b$ adalah hasil dari 'refleksi $b$ melalui $a$ '.

Lihat pula

Referensi

^ Takasaki, Mituhisa (1943). "Abstractions of symmetric functions". Jurnal Matematika Tohoku. 49: 143–207.
^ Conway, John H.; Wraith, Gavin (1959). "(korespondensi yang tidak dipublikasikan)".
^ Wraith, Gavin. "A Personal Story about Knots". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2006-03-13.
^ Joyce, David (1982). "A classifying invariant of knots: the knot quandle". Jurnal Aljabar Murni dan Terapan. 23: 37–65. doi:10.1016/0022-4049(82)90077-9.
^ Baez, John. "The Origin of the word 'Quandle'". The n-Category Cafe. Diakses tanggal 5 June 2015.
^ Matveev, Sergei (1984). "Distributive groupoids in knot theory". Math. USSR Sbornik. 47: 73–83. doi:10.1070/SM1984v047n01ABEH002630.
^ Brieskorn, Egbert (1988). "Automorphic sets and singularities". In "Braids (Santa Cruz, CA, 1986)", Contemporary Mathematics. 78: 45–115. doi:10.1090/conm/078/975077.
^ Rourke, Colin; Fenn, Roger (1992). "Racks and links in codimension 2". Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 1 (4): 343–406. doi:10.1142/S0218216592000203.

Pranala luar

Knot Quandaries Quelled by Quandles - Pengantar sarjana untuk ganjalan dan invarian simpul lainnya
A Survey of Quandle Ideas oleh Scott Carter
Knot Invariants Derived from Quandles and Racks oleh Seiichi Kamada
Shelves, Racks, Spindles and Quandles, p. 56 of Lie 2-Algebras oleh Alissa Crans
https://ncatlab.org/nlab/show/quandle

[takasaki-1] Takasaki, Mituhisa (1943). "Abstractions of symmetric functions". Jurnal Matematika Tohoku. 49: 143–207.

[cw-2] Conway, John H.; Wraith, Gavin (1959). "(korespondensi yang tidak dipublikasikan)".

[wraith-3] Wraith, Gavin. "A Personal Story about Knots". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2006-03-13.

[joyce-4] Joyce, David (1982). "A classifying invariant of knots: the knot quandle". Jurnal Aljabar Murni dan Terapan. 23: 37–65. doi:10.1016/0022-4049(82)90077-9.

[5] Baez, John. "The Origin of the word 'Quandle'". The n-Category Cafe. Diakses tanggal 5 June 2015.

[matveev-6] Matveev, Sergei (1984). "Distributive groupoids in knot theory". Math. USSR Sbornik. 47: 73–83. doi:10.1070/SM1984v047n01ABEH002630.

[brieskorn-7] Brieskorn, Egbert (1988). "Automorphic sets and singularities". In "Braids (Santa Cruz, CA, 1986)", Contemporary Mathematics. 78: 45–115. doi:10.1090/conm/078/975077.

[fr-8] Rourke, Colin; Fenn, Roger (1992). "Racks and links in codimension 2". Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 1 (4): 343–406. doi:10.1142/S0218216592000203.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]