Jarak Euklides

Ilustrasi untuk n=3. Penggunaan rumus Pythagoras secara berulang menghasilkan rumus jarak Euklides

Dalam matematika, jarak Euklides atau metrik Euklides adalah jarak garis lurus "biasa" antara dua titik dalam ruang Euklides. Dengan jarak ini, ruang Euklides menjadi ruang metrik. Norma yang terkait disebut norma Euklides. Literatur lampau menyebutnya dengan metrik Pythagoras. Bentuk umum dari norma Euklides adalah norma L² atau jarak L².

Definisi

Jarak Euklides antara titik p dan q adalah jarak ruas garis yang menghubungkan mereka (disimbolkan ${\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}$).

Dalam koordinat Kartesius, jika p = (p₁, p₂,..., p_n) dan q = (q₁, q₂,..., q_n) adalah dua titik dalam ruang Euklides berdimensi n, jarak Euklides (d) dari p ke q (atau sebaliknya) dihitung dengan rumus Pythagoras seperti berikut.

${\begin{aligned}d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=d(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )&={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(q_{n}-p_{n})^{2}}}\\[8pt]&={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(q_{i}-p_{i})^{2}}}\end{aligned}}$

(1)

Letak titik pada ruang Euklides berdimensi n adalah vektor Euklides, maka p dan q dapat digambarkan sebagai vektor Euklides yang berpangkal di titik acuan dan berujung di letak mereka (p dan q). Norma Euklides (alias panjang Euklides) atau magnitudo suatu vektor adalah panjang vektor tersebut:

$\left\|\mathbf {p} \right\|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}$

dengan $\mathbf {p} \cdot \mathbf {p}$ adalah operasi produk skalar antara p dan p.

Hubungan antara titik p dan q bisa juga memiliki arah (misalnya, dari p ke q). Hubungan tersebut dapat digambarkan sebagai vektor berikut.

$\mathbf {q} -\mathbf {p} =(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2},\cdots ,q_{n}-p_{n})$

Dalam ruang berdimensi dua atau tiga, hal tersebut biasa digambarkan dengan sebuah panah dari p ke q. Dalam ruang apa pun, ia dapat bermakna sebagai letak p terhadap q. Panah itu bisa disebut vektor perpindahan.

Jarak Euklides antara p dan q hanyalah panjang Euklides dari vektor perpindahannya:

$\left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {(\mathbf {q} -\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {q} -\mathbf {p} )}}$

(2)

yang ekuivalen dengan persamaan (1) dan persamaan berikut:

$\left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {q} \right\|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}.$

Satu dimensi

Jarak antara dua titik pada garis bilangan adalah selisih dari koordinatnya. Misalkan p dan q adalah titik pada garis bilangan, maka jarak antara keduanya adalah

${\sqrt {(q-p)^{2}}}=|q-p|.$

Dua dimensi

Pada bidang Euklides, misalkan p = (p₁, p₂) dan q = (q₁, q₂), maka jarak antara keduanya adalah

$d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}}}.$

Rumus tersebut ekuivalen dengan rumus Pythagoras.

Tiga dimensi

Dalam ruang Euklides tiga dimensi, jarak keduanya adalah

$d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}}}.$

n dimensi

Secara umum, untuk ruang berdimensi n, jarak keduanya adalah

$d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2}}}}.$

Kuadrat jarak Euklides

Nilai kuadrat dari jarak Euklides juga menjadi perhatian. Berikut persamaannya:

$d^{2}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.$

Kuadrat jarak Euklides tidak termasuk metrik karena tidak memenuhi pertidaksamaan segitiga. Teorema Pythagoras lebih sederhana dalam bentuk kuadrat (karena tidak memerlukan tanda akar). Misalkan $\mathbf {pq} \perp \mathbf {qr}$, maka

$d^{2}(\mathbf {p} ,\mathbf {r} )=d^{2}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )+d^{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {r} )$

atau

${\overline {\mathbf {p} \mathbf {r} }}^{2}={\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}^{2}+{\overline {\mathbf {q} \mathbf {r} }}^{2}.$

Contoh penerapan

Dalam ilmu komputer, terutama grafika komputer, simulasi, dan pengembangan permainan video, penggunaan jarak Euklides biasa dan fungsi norma (pada kasus tertentu) kadang-kadang dianggap kurang optimal karena membutuhkan operasi akar kuadrat. Algoritme yang menggunakan perbandingan jarak dapat menggunakan kuadrat jarak Euklides alih-alih jarak Euklides. Misalkan berlaku $d(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )>d(\mathbf {c} ,\mathbf {d} )$, maka $d^{2}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )>d^{2}(\mathbf {c} ,\mathbf {d} )$ juga berlaku dan dapat dipakai.

Lihat pula

• Jarak Chebyshev
• Jarak Mahalanobis
• Jarak Manhattan
• Jarak Minkowski

Bacaan lebih lanjut

• Deza, Elena; Deza, Michel Marie (2009). Encyclopedia of Distances. Springer. hlm. 94. 
• "Cluster analysis". 2 Maret 2011. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2015-05-01. Diakses tanggal 2020-09-12.