Kernel (aljabar linear)

Dalam matematika, khususnya aljabar linear dan fungsi analisis, kernel dari sebuah peta linear (linear map) adalah himpunan semua vektor dalam domain pemetaan yang dipetakan ke vektor nol.^[1]^[2] Artinya, bagi suatu peta linear L yang memetakan ruang vektor V ke ruang vektor W, kernel dari L adalah himpunan semua elemen v dari V yang memenuhi persamaan L(v) = 0, dengan 0 menandakan vektor nol dari W.^[3] Hal ini dinyatakan secara simbolis sebagai:

\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}{\text{.}}

Kernel juga dikenal dengan istilah null space atau nullspace.

Sifat

Kernel $L$ adalah suatu subruang linear dari domain $V$ .^[3]^[4] Dalam peta linear $L\colon V\to W$ , dua elemen di $V$ akan memiliki citra yang sama di $W$ , jika dan hanya jika selisih kedua elemen tersebut juga terletak di dalam kernel $L$ ; atau secara matematis:

L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\;\Leftrightarrow \;L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0}

.

Hal ini mengakibatkan citra dari $L$ isomorfik ke ruang hasil bagi $V$ dengan kernel; atau secara matematis:

\mathop {\mathrm {im} } (L)\cong V/\ker(L)

.

Pada kasus $V$ memiliki dimensi yang hingga, hubungan ini menyiratkan teorema rank-nullity:

\dim(\ker L)+\dim(\mathop {\mathrm {im} } L)=\dim(V)

.

Dalam hubungan ini, istilah rank merujuk pada besar dimensi citra dari $L$ , sedangkan nullity merujuk pada besar dimensi kernel dari $L$ .^[5]

Jika $V$ adalah ruang hasil kali dalam, hasil bagi $V/\ker(L)$ dapat diidentifikasi dengan komplemen ortogonal dalam $V$ dari $\ker(L)$ . Ini adalah perumuman untuk operator linear dari ruang baris, atau kocitra dari sebuah matriks.

Representasi sebagai perkalian matriks

Misalkan peta linear $A$ diwakili oleh matriks $\mathbf {A}$ berukuran $m\!\times \!n$ , dengan entri-entri berasal dari lapangan $K$ (biasanya $\mathbb {R}$ atau $\mathbb {C}$ ), dan beroperasi pada vektor kolom $\mathbf {x}$ dengan $n$ komponen di atas lapangan $K$ . Kernel dari peta linear ini adalah himpunan solusi dari persamaan $\mathbf {Ax} =\mathbf {0}$ , dengan $\mathbf {0}$ adalah vektor nol. Dimensi dari kernel $A$ disebut nolitas dari $A$ . Dengan menggunakan notasi himpunan, kernel $A$ dapat ditulis sebagai $\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}|\mathbf {Ax} =\mathbf {0} \right\}.$ Lebih lanjut, persamaan matriks tersebut setara dengan sistem persamaan linear:

A\mathbf {x} =\mathbf {0} \iff {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}

Dengan demikian, anggota dari kernel dari $\mathbf {A}$ adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan di atas.

Sifat subruang

Kernel dari matriks $A$ (dengan ordo $m\!\times \!n$ ) atas medan $K$ adalah subruang linear dari $\mathbf {K} ^{n}$ . Artinya, kernel dari $A$ , himpunan $\operatorname {Null} (A)$ , mengikuti tiga sifat berikut:

$\operatorname {Null} (A)$ selalu memiliki vektor nol, karena $A\mathbf {0} =\mathbf {0}$ .
Jika $x\in \operatorname {Null} (A)$ dan $y\in \operatorname {Null} (A)$ , maka $x+y\in \operatorname {Null} (A)$ . Sifatnya mengikuti distributisi perkalian matriks terhadap penambahan.
Jika $x\in \operatorname {Null} (A)$ dan $c$ adalah sebuah skalar $c\in K$ , maka $c\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)$ , karena $A(c\mathbf {x} )=c(A\mathbf {x} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0}$ .

Ruang baris matriks

Hasil kali $A\mathbf {x}$ ini dapat ditulis dalam bentuk darab bintik atau titik hasil kali dari vektor sebagai berikut:

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}

.

Dalam hal ini, $\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{m}$ menunjukkan baris matriks $A$ . Ini mengikuti $\mathbf {x}$ adalah kernel dari $A$ , jika dan hanya jika $\mathbf {x}$ adalah ortogonal (atau tegak lurus) untuk setiap baris vektor dari $A$ (karena ortogonal didefinisikan sebagai memiliki titik hasil kali dari $0$ ).

Ruang baris, atau kocitra, dari matriks $A$ adalah rentang dari baris vektor $A$ . Dengan alasan di atas, kernel dari $A$ adalah komplemen ortogonal untuk ruang baris. Artinya, vektor $\mathbf {x}$ terletak pada kernel dari $A$ , jika dan hanya jika tegak lurus terhadap setiap vektor di ruang baris $A$ .

Dimensi ruang baris $A$ disebut peringkat dari $A$ , dan dimensi dari kernel $A$ disebut pembatalan $A$ . Jumlah ini terkait dengan urutan pembatalan teorema

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n

.^[5]

Ruang null kiri

Ruang null kiri, atau kokernel, matriks $A$ terdiri dari semua kolom vektor $\mathbf {x}$ sehingga $\mathbf {x} ^{\top }A=\mathbf {0} ^{\top }$ , di mana $\top$ menunjukkan transpose dari matriks. Ruang null kiri $A$ adalah sama dengan kernel $A^{\top }$ . Ruang null kiri $A$ adalah pelengkap ortogonal untuk ruang kolom dari $A$ , dan ganda ke kokernel dari transformasi linear terkait. Kernel, Ruang baris, kolom ruang, dan ruang kosong di sebelah kiri $A$ adalah empat subruang fundamental terkait dengan matriks A.

Sistem non-homogen persamaan linear

Kernel juga memainkan peran dalam solusi untuk sistem non-homogen persamaan linear:

A\mathbf {x} =\mathbf {b}

atau

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}

Jika $\mathbf {u}$ dan $\mathbf {v}$ adalah dua kemungkinan solusi untuk persamaan di atas, maka

A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} \,

Dengan demikian, perbedaan dua solusi untuk persamaan $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ terletak di kernel $A$ .

Ini mengikuti bahwa setiap solusi untuk persamaan $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ dapat dinyatakan sebagai jumlah solusi tetap $\mathbf {v}$ dan elemen sebarang dari kernel. Artinya, solusi yang ditetapkan ke persamaan $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ adalah

\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\}

,

Secara geometrik, ini mengatakan bahwa solusi diatur untuk $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ adalah terjemahan geometri dari kernel $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ oleh vektor $\mathbf {v}$ .

Contoh

Jika $L\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ , maka kernel dari $L$ adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan linear. Seperti yang diilustrasikan di atas, jika $L$ adalah operator:

L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})

maka kernel $L$ adalah serangkaian solusi untuk persamaan

{\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}

Misalkan $C[0,1]$ melambangkan ruang vektor semua fungsi bernilai riil kontinu pada interval $[0,1]$ , dan mendefinisikan $L\colon C[0,1]\to \mathbb {R}$ berdasarkan kaidah

L(f)=f(0.3)

,

maka kernel

L

terdiri dari semua fungsi

f\in C[0,1]

untuk

f(0.3)=0

.

Misalkan $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ menjadi ruang vektor dari banyaknya fungsi terdiferensialkan $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , dan misalkan $D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} )\to C^{\infty }(\mathbb {R} )$ adalah operator diferensial:

D(f)={\frac {df}{dx}}

,

maka kernel

D

terdiri dari semua fungsi dalam

C^{\infty }(\mathbb {R} )

yang turunannya adalah nol, yaitu himpunan semua fungsi konstan.

Misalkan $\mathbb {R} ^{\infty }$ menjadi hasil kali langsung dari banyaknya salinan $\mathbb {R}$ , dan misalkan $s\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty }$ adalah operator diferensiasi.

s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ),

maka kernel

s

adalah subruang berdimensi satu yang terdiri dari semua vektor

(x_{1},0,0,\dots )

.

Jika $V$ adalah ruang hasil kali dalam dan $W$ adalah subruang, maka kernel dari proyeksi (aljabar linear) $V\to W$ adalah komplemen ortogonal untuk $W$ di $V$ .

Perhitungan oleh eliminasi Gauss

Sebuah basis aljabar linear dari kernel matriks dapat dihitung oleh eliminasi Gauss.

Untuk tujuan ini, mengingat matriks $A$ , ordo $m\!\times \!n$ , membangun baris pertama ditambah matriks $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]$ , di mana $I$ adalah matriks identitas $n\!\times \!n$ .

Komputasi bentuk eselon kolom oleh eliminasi Gauss (atau metode lain yang sesuai), akan mendapatkan matriks $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ . Basis dari kernel $A$ terdiri dalam kolom taknol $C$ sehingga kolom yang sesuai $B$ adalah matriks atau kolom nol.

Sebenarnya, perhitungan dapat dihentikan segera setelah matriks atas di bentuk eselon kolom: sisa perhitungan terdiri dalam mengubah dasar ruang vektor yang dihasilkan oleh kolom yang bagian atas adalah nol.

Sebagai contoh, misalkan:

A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right]

, maka

\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right]

.

Tempatkan bagian atas di bentuk eselon kolom dengan operasi kolom pada seluruh matriks

\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right]

Tiga kolom terakhir B adalah kolom nol. Oleh karena itu, tiga vektor terakhir dari C,

\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]

adalah basis dari kernel $A$ .

Bukti bahwa metode menghitung kernel: karena operasi kolom sesuai dengan pasca-perkalian oleh matriks terbalikkan, fakta bahwa $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]$ dikurangi ke $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ berarti bahwa ada ada matriks terbalikkan $P$ sehingga $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ dengan $B$ dalam bentuk eselon kolom. Jadi $AP=B$ , $IP=C$ , dan $AC=B$ . Sebuah kolom vektor $v$ termasuk dalam kernel $A$ (yaitu $Av=0$ ) jika dan hanya $Bw=0,$ di mana $w=P^{-1}v=C^{-1}v.$ Ketika $B$ berada di bentuk eselon kolom, $Bw=0$ , jika dan hanya jika entri bukan nol dari $w$ berpadanan dengan kolom nol dari $B.$ Mengalikan dengan $C$ , salah satunya dapat disimpulkan bahwa ini adalah kasus jika dan hanya $v=Cw$ adalah kombinasi linear dari kolom yang sesuai dari $C.$

Komputasi titik mengambang

Untuk matriks yang entri-nya bilangan titik kambang, masalah komputasi kernel masuk akal hanya untuk matriks yang jumlah baris sama dengan peringkat bilangan titik kambang: karena kesalahan perbatasan, matriks titik kambang telah hampir selalu peringkat penuh, bahkan ketika peringkat matriks pendekatannya jauh lebih kecil.^[6]

Lihat pula

Referensi

^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon—Null". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-08-01. Diakses tanggal 15 Agustus 2020.
^ Weisstein, Eric W. "Kernel". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020.
^ ^a ^b "Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020.
^ Linear algebra, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in Lay 2005, Meyer 2001, and Strang's lecture.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Rank-Nullity Theorem". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020.
^ "Archived copy" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2017-08-29. Diakses tanggal 15 Agustus 2020.

Bibliografi

Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0.
Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7.
Meyer, Carl D. (2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 15 Agustus 2020.
Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (edisi ke-2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3.
Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (edisi ke-9th), Wiley International.
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall.
Lang, Serge (1987). Linear Algebra. Springer. ISBN 9780387964126.
Trefethen, Lloyd N.; Bau, David III (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Kernel of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Khan Academy, Introduction to the Null Space of a Matrix

[1] "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon—Null". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-08-01. Diakses tanggal 15 Agustus 2020.

[2] Weisstein, Eric W. "Kernel". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020.

[:0-3] "Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020.

[textbooks-4] Linear algebra, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in Lay 2005, Meyer 2001, and Strang's lecture.

[:1-5] Weisstein, Eric W. "Rank-Nullity Theorem". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020.

[6] "Archived copy" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2017-08-29. Diakses tanggal 15 Agustus 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]