Mekanika klasik

Mekanika klasik adalah bagian dari ilmu fisika yang membahas mengenai gaya yang bekerja pada benda. Sebagian besar konsep dasar di dalam mekanika klasik memanfaatkan hukum gerak Newton yang dirumuskan oleh Isaac Newton, sehingga sering pula dinamakan sebagai "Mekanika Newton". Mekanika klasik dibagi menjadi beberapa sub bagian lagi, yaitu statika (mempelajari benda diam), kinematika (mempelajari benda bergerak), dan dinamika (mempelajari benda yang terpengaruh gaya).

Mekanika klasik memberikan hasil yang sangat akurat untuk penerapan praktis dalam kehidupan sehari-hari. Kekurangannya hanya pada kasus tertentu. Mekanika klasik memerlukan konsep relativitas khusus untuk sistem yang bergerak dengan kecepatan sangat tinggi atau yang mendekati kecepatan cahaya. Sementara itu, mekanika klasik memerlukan konsep mekanika kuantum untuk sistem yang sangat kecil, dan teori medan kuantum untuk sistem yang memiliki kedua sifat tersebut. Namun, mekanika klasik masih sangat berguna, karena ia lebih sederhana dan mudah diterapkan dibandingkan dengan teori lainnya, dan dia juga memiliki perkiraan yang valid dan luas terapannya. Mekanika klasik dapat digunakan untuk menjelaskan gerakan benda sebesar manusia (seperti gasing dan bisbol). Benda-benda astronomi (seperti planet dan galaksi, dan beberapa benda mikroskopis (seperti molekul organik) juga masih bisa diperhutngkan pergerakannya dengan menggunakan mekanika klasik.

Mekanika klasik menggambarkan dinamika partikel atau sistem partikel. Dinamika partikel demikian, ditunjukkan oleh hukum-hukum Newton tentang gerak, terutama oleh hukum kedua Newton. Hukum ini menyatakan, "Sebuah benda yang memperoleh pengaruh gaya atau interaksi akan bergerak sedemikian rupa sehingga laju perubahan waktu dari momentum sama dengan gaya tersebut".

Hukum-hukum gerak Newton baru memiliki arti fisis, jika hukum-hukum tersebut diacukan terhadap suatu kerangka acuan tertentu, yakni kerangka acuan inersia (suatu kerangka acuan yang bergerak serba sama - tak mengalami percepatan). Prinsip Relativitas Newtonian menyatakan, "Jika hukum-hukum Newton berlaku dalam suatu kerangka acuan maka hukum-hukum tersebut juga berlaku dalam kerangka acuan lain yang bergerak serba sama relatif terhadap kerangka acuan pertama".

Konsep partikel bebas diperkenalkan ketika suatu partikel bebas dari pengaruh gaya atau interaksi dari luar sistem fisis yang ditinjau (idealisasi fakta fisis yang sebenarnya). Gerak partikel terhadap suatu kerangka acuan inersia tak gayut (independen) posisi titik asal sistem koordinat dan tak gayut arah gerak sistem koordinat tersebut dalam ruang. Dikatakan, dalam kerangka acuan inersia, ruang bersifat homogen dan isotropik. Jika partikel bebas bergerak dengan kecepatan konstan dalam suatu sistem koordinat selama interval waktu tertentu tidak mengalami perubahan kecepatan, konsekuensinya adalah waktu yang bersifat homogen.

Sejarah

Pemikiran awal mengenai mekanika dimulai pada masa Aristoteles (384–322 SM). Bidang ilmu mekanika yang paling awal ialah mekanika benda langit. Aristoteles pada masanya menganggap Bumi sebagai objek yang diam dengan bintang-bintang yang mengelilinginya mengalami pergerakan atau perputaran. Pemikiran Aristoteles kemudian dikembangkan lebih lanjut oleh ahli astronomi bernama Tycho Brahe pada abad ke-16 Masehi dan dikembangkan lagi oleh muridnya yang bernama Johannes Kepler pada awal abad ke-17 Masehi. Hukum mekanika kemudian baru dirumuskan secara ilmiah pada awal abad ke-17 Masehi oleh Isaac Newton dari bukti-bukti empiris yang ditemukan oleh Brahe dan Kepler. Konsep dasar yang dikemukakan oleh Newton ialah gaya dan massa, yang kemudian dikembangkan lagi menjadi teori gravitasi. Ilmu mekanika kemudian terus dikembangkan pada paruh kedua abad ke-17 Masehi hingga paruh pertama abad ke-19 Masehi. Para pengembangnya di antaranya ialah Johann Bernoulli, Jean le Rond d'Alembert, Joseph-Louis de Lagrange dan William Rowan Hamilton. Pada masa ini, ilmu mekanika dikenal sebagai mekanika klasik, mekanika teoretik atau mekanika analitik.

Konsep dasar

Gaya

Gaya merupakan salah satu konsep utama di dalam mekanika, khususnya pada mekanika klasik. Pemanfaatan konsep gaya di dalam mekanika klasik ialah untuk memberikan pemahaman mengenai gaya gerak pada benda. Analisis mekanika melalui konsep gaya dilakukan dengan menggunakan hukum gerak Newton yang dirumuskan secara matematika. Dalam perhitungan mekanika, gaya umumnya dikaitkan dengan konsep momentum dan energi. Konsep gaya digunakan dalam mekanika baik pada benda yang diam atau benda yeng bergerak dengan kondisi pergerakan yang berubah-ubah pula.

Deskripsi teori

Analisis gerak parabola adalah bagian dari mekanika klasik.

Berikut ini adalah penjelasan konsep dasar mekanika klasik. Agar sederhana, biasanya objek real dimodelkan dengan partikel titik (objek dengan ukuran yang dapat diabaikan). Pergerakan partikel titik dikarakteristikkan dengan beberapa parameter: posisinya, massa, dan gaya yang mengenainya.

Posisi dan turunannya

Artikel utama: Kinematika

Besaran SI untuk "mekanikal" (bukan elektromagnetisme atau termal) satuan kg, m dan s
posisi	m
posisi sudut/sudut	tanpa satuan (radian)
kecepatan	m·s−1
kecepatan sudut	s−1
percepatan	m·s−2
percepatan sudut	s−2
jerk	m·s−3
"angular jerk"	s−3
energi spesifik	m2·s−2
absorbed dose rate	m2·s−3
momen inersia	kg·m2
momentum	kg·m·s−1
momentum sudut	kg·m2·s−1
gaya	kg·m·s−2
torsi	kg·m2·s−2
energi	kg·m2·s−2
daya	kg·m2·s−3
tekanan dan densitas energi	kg·m−1·s−2
tegangan permukaan	kg·s−2
konstanta pegas	kg·s−2
iradiansi dan fluks energi	kg·s−3
viskositas kinematik	m2·s−1
viskositas dynamik	kg·m−1·s−1
massa jenis	kg·m−3
densitas bilangan	m−3
aksi	kg·m2·s−1

Kecepatan dan kelajuan

Artikel utama: Kecepatan dan Kelajuan

Kecepatan, atau perubahan posisi tiap waktu, didefinisikan sebagai turunan posisi terhadap waktu:

$\mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t}\,\!$.

Dalam mekanika klasik, kecepatan adalah masalah penambahan dan pengurangan. Contohnya, apabila suatu mobil berjalan ke arah timur dengan kecepatan 60 km/jam dan melewati mobil lain yang kecepatannya 50 km/jam, maka dari pandangan mobil yang lebih lambat, mobil itu berjalan dengan kecepatan 60 − 50 = 10 km/jam. Sedangkan, dari perspektif mobil yang lebih cepat, mobil yang lebih lambat bergerak 10 km/jam ke arah barat. Kecepatan adalah besaran vektor dan diperhitungkan dengan analisis vektor.

Secara matematis, kecepatan objek pertama tadi diberi tanda vektor u = ud dan kecepatan objek kedua diberi tanda vektor v = ve, dengan u adalah kecepatan objek pertama, v adalah kecepatan objek kedua, dan d serta e adalah vektor satuan pada arah gerak tiap objek, maka kecepatan objek pertama dilihat dari objek kedua adalah

$\mathbf {u} '=\mathbf {u} -\mathbf {v} \,.$

Juga,

$\mathbf {v'} =\mathbf {v} -\mathbf {u} \,.$

Ketika kedua objek bergerak pada arah yang sama, maka persamaan menjadi

$\mathbf {u} '=(u-v)\mathbf {d} \,.$

Atau, dengan mengabaikan arah, perbedaan keduanya (dalam kelajuan) adalah:

$u'=u-v\,.$

Percepatan

Artikel utama: Percepatan

Percepatan adalah turunan kecepatan tiap satuan waktu (turunan kedua dari posisi terhadap waktu):

$\mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t^{2}}.$

Percepatan menunjukkan perubahan kecepatan tiap waktu: entah besarannya, arahnya, atau keduanya. Jika besaran kecepatan v berkurang, maka disebut sebagai perlambatan.

Gaya; Hukum kedua Newton

Artikel utama: Gaya dan Hukum gerak Newton

Newton pertama kali menuliskan secara matematis hubugan antara gaya dan momentum. Beberapa fisikawan menerjemahkan hukum kedua gerak Newton sebagai definisi gaya dan massa, dimana yang lain menganggapnya sebagai postulat dasar. Rumus "Hukum kedua Newton" adalah:

$\mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} (m\mathbf {v} ) \over \mathrm {d} t}.$

Besaran mv disebut sebagai momentum (kanonikal). Gaya bersih pada sebuah partikel sama dengan perubahan momentrum tiap saat terhadap waktu. Karena definisi percepatan adalah a = dv/dt, maka hukum ini dapat disederhanakan menjadi:

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,.$

Maka sejauh gaya yang bekerja pada partikel diketahui, hukum kedua Newton cukup untuk menjelaskan pergerakan partikel. Ketika salah satu hubungan independen diketahui, maka dapat disubstitusikan ke hukum kedua Newton untuk didapatkan persamaan diferensial biasa, yang umum disebut persamaan gerak.

Sebagai contoh, asumsikan bahwa hanya gaya friksi yang bekerja pada partikel, maka dapat dimodelkan sebagai fungsi kecepatan partikel, contohnya:

$\mathbf {F} _{\rm {R}}=-\lambda \mathbf {v} \,,$

dengan λ adalah konstanta positif, tanda negatif menunjukkan gaya bekerja berlawanan arah terhadap kecepatan. Maka persamaan gerak menjadi

$-\lambda \mathbf {v} =m\mathbf {a} =m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,.$

Dapat diintegrasikan untuk didapatkan

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}e^{-\lambda t/m}$

dengan v₀ adalah kecepatan awal. Hal ini berarti kecepatan partikel ini meluruh secara eksponensial menjadi nol selagi waktu berjalan. Pada kasus ini, dapat dilihat juga bahwa energi kineik partikel diserap oleh gaya gesek (kemudian diubah lagi menjadi energi panas sesuai hukum kekekalan energi), dan partikel akan melambat. Persamaan ini dapat diintegrasikan lagi untuk mendapatkan posisi r dari partikel sebagai fungsi waktu.

Kerja dan energi

Artikel utama: Kerja (fisika), Energi kinetik, dan Energi potensial

Jika suatu gaya konstan sebesar F bekerja pada partikel sehingga menyebabkan perpindahan sejauh Δr,maka kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah produk skalar dari vektor gaya dan perpindahan:

$W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} \,.$

Lebih umum, jika gaya bervariasi sebagai fungsi posisi selagi partikel berpindah dari r₁ ke r₂ melalui jalur C, maka kerja yang diberikan pada partikel dinyatakan dalam integral garis

$W=\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,.$

Jika kerja yang dilakukan untuk memindahkan partikel dari r₁ ke r₂ besarnya sama tidak peduli jalur apa yang dilewati, maka gaya tersebut dinamakan gaya konservatif. Gravitasi adalah contoh lain gaya konservatif, juga pegas ideal, seperti ditulis pada Hukum Hooke. Gaya akibat friksi bukan gaya konservatif.

Energi kinetik E_k dari partikel bermassa m yang bergerak dengan kelajuan v adalah

$E_{\mathrm {k} }={\tfrac {1}{2}}mv^{2}\,.$

Untuk objek yang terdiri dari banyak partikel, energi kinetik dari objek tersebut adalah gabungan semua energi kinetik dari semua partikel.

Teorema kerja-energi menyatakan bahwa partikel bermassa m, maka total kerja W yang dilakukan ke partikel akibat pergerakan dari posisi r₁ ke r₂ sama dengan perubahan energi kinetik E_k partikel:

$W=\Delta E_{\mathrm {k} }=E_{\mathrm {k,2} }-E_{\mathrm {k,1} }={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{\,2}-v_{1}^{\,2}\right)\,.$

Gaya konservatif dapat dinyatakan sebagai gradien fungsi skalar, dikenal dengan energi potensial yang dilambangkan E_p:

$\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\,.$

Jika semua gaya yang bekerja pada partikel adalah konservatif, dan E_p adalah total energi potensial, didapatkan dengan menjumlahkan energi-energi potensial

$\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\cdot \Delta \mathbf {r} =-\Delta E_{\mathrm {p} }\,.$

Penurunan energi potensial sama dengan kenaikan energi kinetik

$-\Delta E_{\mathrm {p} }=\Delta E_{\mathrm {k} }\Rightarrow \Delta (E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} })=0\,.$

Hasilnya dikenal dengan kekekalan energi dan menyatakan bahwa total energi,

$\sum E=E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} }\,,$

selalu konstan tiap saat.

Prinsip Hamilton

Jika ditinjau gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang, maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun sayang, tak selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Pendekatan Newtonian memerlukan informasi gaya total yang beraksi pada partikel. Gaya total ini merupakan keseluruhan gaya yang beraksi pada partikel, termasuk juga gaya konstrain. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui, maka pendekatan Newtonian tak berlaku. Sehingga diperlukan pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik partikel, misal energi totalnya. Pendekatan ini dilakukan dengan menggunakan prinsip Hamilton, dimana persamaan Lagrange yakni persamaan umum dinamika partikel dapat diturunkan dari prinsip tersebut.

Prinsip Hamilton mengatakan, "Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem dinamis untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik (konsisten dengan sembarang konstrain), lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis adalah lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara energi kinetik dengan energi potensial.".

Persamaan Lagrange

Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam sistem koordinat Kartesius adalah fungsi dari kecepatan, energi potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari posisi.

Jika didefinisikan Lagrangian sebagai selisih antara energi kinetik dan energi potensial. Dari prinsip Hamilton, dengan mensyaratkan kondisi nilai stasioner maka dapat diturunkan persamaan Lagrange. Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum, dan mungkin waktu. Kegayutan Lagrangian terhadap waktu merupakan konsekuensi dari kegayutan konstrain terhadap waktu atau dikarenakan persamaan transformasi yang menghubungkan sistem koordinat Kartesius dan koordinat umum mengandung fungsi waktu. Pada dasarnya, persamaan Lagrange ekivalen dengan persamaan gerak Newton, jika koordinat yang digunakan adalah koordinat Kartesius.

Dalam mekanika Newtonian, konsep gaya diperlukan sebagai kuantitas fisis yang berperan dalam aksi terhadap partikel. Dalam dinamika Lagrangian, kuantitas fisis yang ditinjau adalah energi kinetik dan energi potensial partikel. Keuntungannya, karena energi adalah besaran skalar, maka energi bersifat invarian terhadap transformasi koordinat.

Dalam kondisi tertentu, tidaklah mungkin atau sulit menyatakan seluruh gaya yang beraksi terhadap partikel, maka pendekatan Newtonian menjadi rumit pula atau bahkan tak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, pada perkembangan berikutnya dari mekanika, prinsip Hamilton berperan penting karena ia hanya meninjau energi partikel saja.

Keterbatasan validitas

Domain validitas untuk mekanika klasik

Banyak cabang mekanika klasik adalah penyederhanaan atau perkiraan dari bentuk akurat; 2 yang paling akurat diantaranya relativitas umum dan mekanika statistika relativistik. Optika geometri adalah perkiraan terhadap teori kuantum cahaya.

Ketika mekanika kuantum dan mekanika klasik tidak dapat digunakan, seperti pada tingkat kuantum dengan banyak derajat kebebasan, maka digunakan teori medan kuantum (Quantum field theory, QFT). QFT berperan dalam jarak pendek dan kecepatan tinggi dengan banyak derajat kebebasan serta kemungkinan perubahan pada jumlah partikel selagi interaksi. Untuk menghitung derajat kebebasan banyak pada skala makroskopik, mekanika statistika menjadi penting. Mekanika statistika menjelaskan perilaku objek dalam jumlah besar (namun bisa dihitung) dan interaksinya sebagai kesatuan pada tingkat makroskopik. Mekanika statistika utamanya digunakan pada termodinamika untuk sistem yang terletak diluar batasan asumsi termodinamika klasik. Pada kasus untuk objek dengan kecepatan tinggi mendekati laju cahaya, mekanika klasik dilengkapi dengan relativitas khusus. Relativitas umum menggabungkan relativitas khusus dengan hukum gravitasi universal Newton, memungkinkan fisikawan untuk memegang gravitasi lebih dalam lagi.

Perkiraan Newtonian untuk relativitas khusus

Dalam relativitas khusus, momentum sebuah partikel dirumuskan dengan

$\mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,,$

dengan m adalah massa diam partikel, v adalah kecepatan, dan c adalah laju cahaya.

Jika v bernilai sangat kecil dibandingkan c, v²/c² akan bernilai nol, sehingga

$\mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,.$

Maka persamaan Newton p = mv adalah perkiraan persamaan relativistik untuk benda yang bergerak dengan kecepatan rendah jika dibandingkan kecepatan cahaya.

Contohnya, frekuensi siklotron relativistik sebuah siklotron, girotron, atau magnetron bertegangan tinggi dirumuskan dengan

$f=f_{\mathrm {c} }{\frac {m_{0}}{m_{0}+T/c^{2}}}\,,$

dengan f_c adalah frekuensi elektron (atau partikel bermuatan lainnya) dengan energi kinetik T dan massa (diam) m₀ berputar dalam medan magnet. Massa (diam) elektron adalah 511 keV. Maka koreksi frekuensi sekitar 1% untuk tabung vakum magnetik bertegangan 5.11 kV dengan arus searah.

Perkiraan klasik untuk mekanika kuantum

Perkiraan sinar mekanika klasik dipatahkan panjang gelombang de Broglie adalah tidak sangat kecil daripada dimensi lain dari sistem. Untuk partikel non-relativistik, panjang gelombangnya adalah

$\lambda ={\frac {h}{p}}$

dengan h adalah konstanta Planck dan p adalah momentum.

Lagi, hal ini berlaku untuk elektron sebelum digunakan dengan partikel yang lebih berat. Contohnya, elektron yang digunakan oleh Clinton Davisson dan Lester Germer tahun 1927, dipercepat hingga 54 Volt, panjang gelombangnya 0.167 nm, sudah cukup panjang untuk memperlihatkan difraksi tunggal side lobe ketika dipantulkan dari muka kristal nikel dengan ruang atom 0.215 nm. Dengan ruang hampa yang lebih besar, maka akan terlihat relatif lebih mudah untuk meningkatkan resolusi sudut dari sekitar 1 radian menjadi miliradian dan melihat difraksi kuantum dari pola periodik sirkuit terpadu memori komputer.

Contoh kegagalan lainnya dari mekanika klasik pada skala teknik adalah penerowongan kuantum pada dioda terowongan dan gerbang transistor sangat sempit pada sirkuit terpadu.

Lihat pula

• Mekanika

Bacaan lebih lanjut

• Alonso, M.; Finn, J. (1992). Fundamental University Physics. Addison-Wesley. 
• Feynman, Richard (1999). The Feynman Lectures on Physics. Perseus Publishing. ISBN 0-7382-0092-1. 
• Feynman, Richard; Phillips, Richard (1998). Six Easy Pieces. Perseus Publishing. ISBN 0-201-32841-0. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Goldstein, Herbert; Charles P. Poole; John L. Safko (2002). Classical Mechanics (edisi ke-3rd). Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3. 
• Kibble, Tom W.B.; Berkshire, Frank H. (2004). Classical Mechanics (5th ed.). Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-424-6. 
• Kleppner, D.; Kolenkow, R. J. (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-035048-5. 
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1972). Course of Theoretical Physics, Vol. 1—Mechanics. Franklin Book Company. ISBN 0-08-016739-X. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Morin, David (2008). Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions (edisi ke-1st). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87622-3. *Gerald Jay Sussman; Jack Wisdom (2001). Structure and Interpretation of Classical Mechanics. MIT Press. ISBN 0-262-19455-4. 
• O'Donnell, Peter J. (2015). Essential Dynamics and Relativity. CRC Press. ISBN 978-1-466-58839-4. 
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)

Pranala luar

• Crowell, Benjamin. Newtonian Physics Diarsipkan 2011-04-25 di Wayback Machine. (an introductory text, uses algebra with optional sections involving calculus)
• Fitzpatrick, Richard. Classical Mechanics (uses calculus)
• Hoiland, Paul (2004). Preferred Frames of Reference & Relativity
• Horbatsch, Marko, "Classical Mechanics Course Notes".
• Rosu, Haret C., "Classical Mechanics". Physics Education. 1999. [arxiv.org: physics/9909035]
• Shapiro, Joel A. (2003). Classical Mechanics
• Sussman, Gerald Jay & Wisdom, Jack & Mayer,Meinhard E. (2001). Structure and Interpretation of Classical Mechanics Diarsipkan 2012-09-20 di Wayback Machine.
• Tong, David. Classical Dynamics (Cambridge lecture notes on Lagrangian and Hamiltonian formalism)
• Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL)
  Movies and photos of hundreds of working mechanical-systems models at Cornell University. Also includes an e-book library of classic texts on mechanical design and engineering.
• MIT OpenCourseWare 8.01: Classical Mechanics Free videos of actual course lectures with links to lecture notes, assignments and exams.