Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago 1.1 Notação • Números naturais: Neste texto, N = {0, 1, 2, 3,. . .} e N + = {1, 2, 3, · · · }. Mas existem vários autores considerando N = {1, 2, 3,. . .}. Por isso, é recomendado...
moreÚltima atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago 1.1 Notação • Números naturais: Neste texto, N = {0, 1, 2, 3,. . .} e N + = {1, 2, 3, · · · }. Mas existem vários autores considerando N = {1, 2, 3,. . .}. Por isso, é recomendado dizer números positivos, números não negativos, etc. sempre que possível, para evitar confusões. • Números inteiros: Z = {.. . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,. . .}. • Números racionais: Q = { m n : m, n ∈ Z, n = 0, a b = c d ⇐⇒ ad = bc}. • Números reais: R. • Números complexos: C = {x + iy : x, y ∈ R, i 2 = −1}. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) O número natural não nulo (no sentido de inteiro positivo) é associado ao número de elementos do conjunto finito não vazio. O número de elementos do conjunto é denominado de cardinalidade, o que não discutiremos os detalhes. O costume é denotar a cardinalidade do conjunto X por #X, mas card(X) também é usada. Se X e Y são conjuntos finitos (não vazios) e disjuntos (intersecção vazia), #(X ∪ Y) = #X + #Y define a soma que está associada ao número de elementos da união dos conjuntos. O produto é associado ao número de elemento do conjunto cartesiano, isto é, se X e Y são conjuntos finitos disjuntos, então #(X × Y) = (#X)(#Y). A adição não possui o elemento nulo, nem o elemento oposto, mas como vale a lei de cancela-mento para adição, podemos definir a subtração parcial. Ajudado pelo produto que também vale a lei de cancelamento, podemos efetuar cálculos com facilidade. Apesar da construção intuitiva dos inteiros positivos e suas operações obtidas através da car-dinalidade do conjunto ser simples, a formalização matemática não é dos mais simples. Em geral, a construção formal do número natural e suas operações da soma e do produto são efetuados pelo axioma de Peano. A construção formal do objeto que satisfaz o axioma de Peano é relativamente simples. O nome números naturais deve se ao fato de ser associado naturalmente ao objeto concreto (cardinalidade do conjunto não vazio). O conjunto dos números naturais não nulos é denotado por N + .
