Matematica e Logica per i Test

Sitografia

1

Insiemistica

Il termine insieme ci porta immediatamente e intuitivamente ad accostarci a quello di raccolta o collezione senza, tuttavia, riuscire a darne una definizione rigorosa che si basi su concetti elementari che non siano altresì sinonimi dello stesso termine. Georg Cantor (1) diede un'idea intuitiva del concetto di insieme(2) con la seguente celebre affermazione: Con il nome di insieme intendiamo ogni raccolta, classe, aggregato, totalità M di oggetti determinati della nostra percezione o del nostro pensiero ben distinti tra loro, oggetti che chiamiamo elementi di M.

1.1 Insiemi

Per costruire o individuare un insieme è utile quindi definire le proprietà che lo caratterizzano:

• appartenenza degli elementi all'insieme dato;

• distinguibilità degli elementi in modo oggettivo;

• assenza di un ordine di apparizione degli elementi.

La costruzione di un qualunque insieme presuppone l'esistenza di un qualcosa di più grande da cui prelevare gli elementi che lo compongono.

Definizione 1.1.1 [Universo] La totalità degli elementi dei quali ne consideriamo una parte è chiamata universo e denotata con la lettera U.

Rappresenteremo graficamente l'insieme universo con un rettangolo.

Esempio n.1

Dire quali delle seguenti scritture rappresenta un insieme:

• A={ x : x = fiore profumato }

A non è un insieme poiché non si può dire in modo oggettivo quale fiore sia profumato e quale no.

• B ={x : x =bella casa }

B non è un insieme poiché non si può dire in modo oggettivo che una casa sia bella o brutta.

essendo U la totalità delle lettere dell'alfabeto.

C è un insieme poiché è possibile dire se una lettera dell'alfabeto è un elemento di C oppure no e, in più, tutte le consonanti, qualunque sia l'ordine di apparizione, sono distinte fra loro.

• D ={x : x =dito di una mano }

D è un insieme perché fra tutte le dita del corpo è possibile dire se uno di essi appartenga o no a D e tutti gli elementi di

D sono oggettivamente distinguibili indipendentemente dall'ordine di apparizione.

essendo U la totalità dei simboli.

E è un insieme perché è possibile dire che un elemento x di U appartenga o no a E e tutti gli elementi di E sono oggettivamente distinguibili indipendentemente dall'ordine di apparizione.

F non è un insieme perché, non essendo definito l'insieme universo, non è possibile dire che un elemento x appartenga o no a F. Per esempio il numero può appartenere o non appartenere a F a seconda che gli x considerati siano razionali o interi.

Esempio n.2

Qual è l'insieme che rappresenta la parola ODONTOIATRIA?

L'insieme in esame deve contenere una sola volta le lettere della parola data: {O, D, N, T, I, A, R}.

Esempio n.3

Quale parola non è rappresentata dall'insieme {c, p, r, a}?

a) carpa

b) capra

c) capa

d) praca

e) crapa

La risposta corretta è l'opzione c) in quanto, indipendentemente dal significato, la parola capa è l'unica a non contenere tutte le lettere dell'insieme dato.

1.2 Sottoinsiemi

Lavoriamo ora con parti di insiemi e famiglie di insiemi.

Definizione 1.2.1 [Sottoinsieme] Dati due insiemi A e B, si dice che A è un sottoinsieme di B, se ogni elemento di A è anche elemento di B.

Definizione 1.2.2 [Sottoinsieme proprio] Siano dati due insiemi A e B non vuoti. Si dice che A è un sottoinsieme proprio di Bovvero esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A.

Fra tutti i sottoinsiemi di un dato insieme due sono impropri o banali: sono l'insieme vuoto, quello cioè non contenete alcun elemento e indicato con il simbolo Ø, e l'insieme stesso; tutti i rimanenti sottoinsiemi sono propri.

Definizione 1.2.3 [Insieme delle parti] Dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A, , la famiglia di tutti i sottoinsiemi di A:

Esempio n.4

Sia dato l'insieme A={a, b ,c } . Si determini il suo insieme delle parti.

È necessario individuare tutti i sottoinsiemi di A con:

• 0 elementi: Ø

• 1 elemento: {a }, {b }, {c }

• 2 elementi: {a ,b}, {a ,c }, {b ,c }

• 3 elementi: A

Si ha pertanto che:

1.3 Applicazioni o funzioni

Dati due insiemi è possibile operare su di essi mediante una corrispondenza.

Definizione 1.3.1 [Funzione] Dati due insiemi A e B non vuoti, si definisce funzione o applicazione da A in B o definita in A a valori in B, una legge che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Tale elemento viene chiamato corrispondete o immagine di x mediante la legge f e si denota con il simbolo f(x).

L'insieme A, che rappresenta l'insieme di partenza, prende il nome di dominio della funzione, l'insieme B, che rappresenta l'insieme di arrivo, prende il nome di codominio della funzione.

coincidono se le immagini di uno stesso elemento tramite le due funzioni sono uguali:

Esempio n.5

• Sia A l'insieme delle coppie di genitori e B l'insieme dei figli. La legge definita in A a valori in B non è una funzione poiché ogni coppia di genitori può avere più figli; la legge definita in B a valori in A è una funzione poiché è vero che ogni figlio ha una sola coppia di genitori.

• Sia A l'insieme degli uomini e B l'insieme dei conti corrente. Poiché ogni uomo può avere più conti corrente, la legge definita in A a valori in B non è una funzione; la legge definita in B a valori in A è una funzione poiché a ogni conto corrente è possibile associare un solo uomo.

Definizione 1.3.2 [Immagine di una funzione] , si definisce immagine di f o immagine di A il sottoinsieme di B costituito dalle immagini di tutti gli elementi di A:

In modo analogo si definisce l'immagine di H :

Osservazione: Se H è un insieme singoletto, formato cioè da un solo elemento, la sua immagine coincide con l'immagine dell'elemento tramite f.

Esempio n.6

Si consideri la funzione che a ogni numero naturale pari fa corrispondere il suo opposto ovvero lo stesso numero preceduto dal segno meno:

Per definizione l'immagine di f è l'insieme formato dalle immagini di tutti gli elementi di ovvero è l'insieme formato da tutti i numeri pari negativi. In questo caso l'immagine che raffigura la funzione è:

cioè Im ( f ) è un sottoinsieme proprio del codominio B.

Esempio n.7

Si consideri la funzione che a ogni numero naturale fa corrispondere il suo successivo:

Per definizione l'immagine di f è l'insieme formato dalle immagini di tutti gli elementi di N e, poiché ogni numero naturale possiede il successivo, l'immagine di f è N . In questo caso l'immagine che raffigura la funzione è:

In questo caso l'immagine della funzione coincide con il codominio.

Esempio n.8

Si consideri la funzione essendo A={1, 4, 16, 25} . Si determinino:

• f (H ) con H ={1, 4 }

Per definizione l'immagine di H è costituita dalle immagini di tutti gli elementi di H ovvero dai numeri naturali che sono la radice quadrata di 1 e di 4: (Figura 1)

                    Im (H )={1, 2}

• f (H ) con H ={16, 25}

L'immagine di H è costituita dai numeri naturali che sono la radice quadrata di 16 e di 25: (Figura 2)

                    Im (H )={4, 5}

• f (H ) con H ={4}

L'immagine di H è costituita dal numero naturale che è radice quadrata di 4: (Figura 3)

                    Im (H )={ f (4)}={2 }

Definizione 1.3.3 [Controimmagine di una funzione] , si definisce controimmagine di f o controimmagine di B, , il sottoinsieme di A costituito dagli elementi la cui immagine appartiene a B:

In modo analogo si definisce la controimmagine di K :

Esempio n.9

Si consideri la funzione che a ogni numero reale associa il suo quadrato che è una quantità non negativa. La controimmagine di è costituita dai numeri reali la cui immagine appartiene a B ovvero è un numero reale non negativo. Ne segue che .

Esempio n.10

Si consideri la funzione essendo A={1, -1, 3, 5, 6 } e B ={0, 1, 4, 9, 25, 36} . Si determinino:

Poiché la controimmagine di K è costituita dagli elementi di A la cui immagine appartiene a K, risulta:

Definizione 1.3.4 [Funzione suriettiva] si dice suriettiva se Im ( f )=B cioè se ogni elemento di B è immagine di qualche elemento di A:

Definizione 1.3.5 [Funzione iniettiva] si dice iniettiva se due elementi di A aventi la stessa immagine coincidono:

Definizione 1.3.6 [Funzione biiettiva] si dice biiettiva o corrispondenza biunivoca se è iniettiva e suriettiva.

Esempio n.11

• Sia A l'insieme delle targhe automobilistiche e B l'insieme delle automobili. L'applicazione definita in A a valori in B è biiettiva poiché automobili distinte hanno targhe distinte e ogni automobile possiede una targa.

• Sia A l'insieme delle persone e B l'insieme dei codici fiscali. L'applicazione definita in A a valori in B è biiettiva poiché a persone diverse corrispondono codici fiscali diversi e ogni codice fiscale identifica una persona.

• Sia A l'insieme dei passeggeri di un volo e B l'insieme dei posti dell'aereo. L'applicazione da A in B è iniettiva poiché a due posti distinti corrispondono due distinti passeggeri ma non è suriettiva in quanto possono esserci posti non occupati da alcun passeggero.

• Sia A l'insieme degli aventi diritto al voto e B l'insieme degli votati. L'applicazione da A in B non è iniettiva poiché ogni elemento di B può aver ricevuto il voto da più votanti ma è suriettiva in quanto ogni votato ha almeno un votante.

Esempio n.12

Quale delle seguenti applicazioni numeriche è iniettiva e/o suriettiva.

essendo ³ l'insieme dei numeri naturali.

Consideriamo due numeri naturali n1, n2 uguali e verifichiamo che

.

L' uguaglianza equivale a ossia . Poiché . Ne segue che è

vera l'uguaglianza . L'applicazione risulta iniettiva. Indaghiamo sulla suriettività e vediamo se per ogni elemento n dell'insieme di arrivo esiste un elemento m dell'insieme di partenza la cui immagine sia n ovvero si abbia n .

Osserviamo che per n=2, l'uguaglianza precedente diventa 4=m ² +m e non esiste alcun numero naturale m che la soddisfi. Da ciò si deduce che non tutti gli elementi dell'insieme di arrivo sono immagine di qualche elemento dell'insieme di partenza. L'applicazione è quindi non suriettiva.

•

l'insieme dei numeri naturali non nulli.

La funzione è iniettiva poiché se . La funzione è anche suriettiva poiché è vero che ogni elemento di B è immagine di qualche elemento di ovvero Im ( f )= B. Di conseguenza la funzione è biiettiva.

l'insieme dei numeri razionali.

La funzione è iniettiva poiché se

ma non risulta suriettiva poiché esiste almeno un elemento di Q che non è immagine di alcun elemento di , per esempio lo zero. In questo caso risulta

Definizione 1.3.7 [Funzione inversa] è una applicazione biettiva, si definisce applicazione inversa dif che associa a ogni elemento di B l'unico elemento di A la cui immagine tramite f è proprio b:

Esempio n.13

Nell'esempio precedente abbiamo visto che la funzione

è biettiva. In talcaso è possibile costruire la funzione inversa il numero naturale da cui proviene che è il suo denominatore.

È possibile costruire nuove applicazioni a partire da due o più applicazioni assegnate; esse si diranno applicazioni composte.

Definizione 1.3.8 [Funzione composta] , si definisce funzione composta di f e g o composizione di f e g così definita:

Esempio n.14

Siano assegnate le applicazioni

e definite da: . Determinare la funzione composta .

Schematizziamo la situazione:

In tal modo si costruisce l'applicazione da A in C tale che a ogni elemento di A fa corrispondere il quadrato del suo doppio. Quindi la funzione composta è

Esempio n.15

Siano assegnate le applicazioni definite da: Determinare la funzione composta .

Schematizziamo la situazione:

In tal modo si costruisce l'applicazione da in tale che a ogni elemento di A fa corrispondere il quadrato del triplo dell'elemento aumentato di uno. Quindi la funzione composta è .

1.4 Cardinalità o potenza di un insieme

Per cardinalità o potenza di un insieme si intende il numero degli elementi che lo costituiscono e la denoteremo con il simbolo n( ). Intuitivamente è facile confrontare le cardinalità di due insiemi con un numero finito di elementi o un insieme con un numero finito di elementi e uno con un numero infinito di elementi, ma cosa si può dire sul confronto tra due insiemi con infiniti elementi? A tale proposito introduciamo le seguenti definizioni:

Definizione 1.4.1 [Insieme finito] Un insieme si dice finito se si può mettere in corrispondenza biunivoca con un insieme con un numero finito di elementi:

sia biiettiva

oppure se non si può mettere in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

Definizione 1.4.2 [Cardinalità di un insieme finito] Se A è un insieme finito ed esistono due numeri naturali non nulli n ed m applicazioni biettive, allora n=m e tale numero viene definito cardinalità dell'insieme finito.

Osservazione: Per un insieme finito la cardinalità è il numero degli elementi che lo costituiscono.

Definizione 1.4.3 [Insieme infinito] Un insieme si dice infinito se non è finito.

Quindi un insieme è infinito se non si può mettere in corrispondenza biunivoca con un insieme con un numero finito di elementi o se si può mettere in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

Definizione 1.4.4 [Insiemi equipotenti] Due insiemi A e B si dicono equipotenti iniettiva, diremo che A ha cardinalità minore o uguale a quella di B .

Osservazione: Se A e B sono insiemi finiti, essi sono equipotenti se hanno lo stesso numero di elementi.

Osservazione: Se allora n , detta inclusione canonica.

Se consideriamo B come l'insieme delle parti di A

Osservazione: Se B se B .

Definizione 1.4.5 [Insieme numerabile] Un insieme equipotente all'insieme dei numeri naturali si dice numerabile o che ha la potenza del numerabile.

Definizione 1.4.6 [Potenza del continuo] Un insieme equipotente all'insieme dei numeri reali si dice che ha la potenza del continuo.

Esempion.16

Dire se i seguenti insiemi sono infiniti o finiti e in tal caso determinarne la cardinalità.

• X

Consideriamo l'insieme dei numeri naturali pari che indichiamo con e che rappresenta un sottoinsieme proprio di . È possibile considerare l'applicazione biiettiva tale che f (n)=2 n. Di conseguenza è un insieme infinito.

Denotato con A * l'insieme , osserviamo che ed è possibile considerare l'applicazione biiettiva tale che, posto cosicché n . In altre parole A si può mettere in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio, di conseguenza A è un insieme infinito.

Osserviamo che C è l'insieme dei numeri naturali multipli di 2. Se consideriamo l'insieme C' dei numeri naturali multipli di 4, è possibile considerare l'applicazione biiettiva in quanto due multipli di 2 uguali hanno la medesima immagine come multiplo di 4 e ogni multiplo di 4 è anche multiplo di 2. Risulta allora che C è un insieme infinito.

• D ={1, 4,9, 16}

L'insieme risulta finito in quanto ha un numero finito di elementi e la sua cardinalità è pari al numero degli elementi cioè n(D)=4. D'altra parte, poiché esiste n=4 tale che è possibile considerare l'applicazione biunivoca definita da , l'insieme D è finito secondo la definizione con cardinalità 4.

Esempio n.17

Dire quali dei seguenti insiemi sono equipotenti:

• A={dita di una mano }, B={vocali }

Consideriamo l'applicazione definita da:

Essa è una corrispondenza biunivoca quindi i due insiemi sono equipotenti con cardinalità 5.

Poiché abbiamo già visto provato che esiste una applicazione biiettiva da in i due insiemi sono equipotenti.

• Sia A l'insieme dei componenti di una famiglia e si consideri l'applicazione che a ogni elemento di A associa un numero naturale rappresentante l'età.

Poiché A è finito ed è infinito, i due insiemi non sono equipotenti. D'altra parte, poiché non tutti i numeri naturali rappresentano l'età di un elemento di A, non è possibile definire una applicazione da A in che sia biiettiva.

1.5 Rappresentazione di un insieme

È possibile rappresentare un insieme in tre modi differenti:

• per elencazione: si ottiene elencando gli oggetti dell'insieme entro parentesi graffe

• mediante grafico (4) : si ottiene racchiudendo gli oggetti dell'insieme entro una curva semplice, chiusa e continua

• mediante caratteristica: si ottiene enunciando la proprietà goduta dagli oggetti dell'insieme

Esempio n.18

Rappresentare l'insieme dei numeri naturali pari maggiori di 2 e minori di 20 divisibili per 5.

Rappresentazione per caratteristica:

Rappresentazione per elencazione: A={10}

Rappresentazione grafica:

1.6 Operazioni insiemistiche

È possibile eseguire sugli insiemi alcune operazioni(5). Le principali sono:

Definizione 1.6.1 [Intersezione] Dati due insiemi A e B (non necessariamente non vuoti), si definisce intersezione tra A e B l’insieme formato da tutti gli elementi comuni agli insiemi dati:

Se è AnB=Ø, i due insiemi si dicono disgiunti.

Le proprietà dell'intersezione sono:

Proprietà 1.6.2 [Proprietà commutativa] L'insieme intersezione non cambia se si cambiano di posto gli insiemi dati:

Proprietà 1.6.3 [Proprietà associativa] Sostituendo due insiemi con la loro intersezione, l'insieme ottenuto non cambia:

Esempio n.19

Siano dati i seguenti insiemi: A={a, b, c } e B ={a, d, g }. Determinare gli insiemi: .

Applicando le definizioni si ha:

Definizione 1.6.4 [Unione] Dati due insiemi A e B (non necessariamente non vuoti), si definisce unione di A e B l’insieme formato da tutti gli elementi degli insiemi dati, presi una e una sola volta:

, essendo n( ) la cardinalità dell'insieme. Nel caso dell'unione di tre insiemi, risulta:

che si riduce ulteriormente se gli insiemi sono a due a due o tutti e tre disgiunti.

Le proprietà dell'unione sono:

Proprietà 1.6.5 [Proprietà commutativa] L'insieme unione non cambia se si cambiano di posto i due insiemi:

Proprietà 1.6.6 [Proprietà associativa] Sostituendo due insiemi con la loro unione, l'insieme ottenuto non

cambia:

Proprietà 1.6.7 [Proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione] Dati tre insiemi A, B, C, l'unione di uno dei tre insiemi e dell'intersezione degli altri due coincide con l'intersezione delle unioni del primo insieme con i rimanenti due:

Proprietà 1.6.7 [Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione] Dati tre insiemi A, B, C, l'intersezione tra uno dei tre insiemi e l'unione degli altri due coincide con l'unione delle intersezioni del primo insieme con i rimanenti due:

Esempio n.20

Siano dati i seguenti insiemi: . Determinare gli insiemi:

Osserviamo innanzitutto che . Risulta pertanto:

Esempio n.21

Siano dati due insiemi A e B la cui unione ha 150 elementi. Sapendo che la cardinalità di A è il doppio della cardinalità di B e che il numero degli elementi in comune è pari alla differenza delle due cardinalità, quanti elementi ha B?

Dai dati risulta che: ; applicando la formula che fornisce la cardinalità dell'unione di due insiemi si ha: da cui si deduce che n( B)=75 .

Esempio n.22

Sapendo che due gruppi di amici sono formati dallo stesso numero di persone, che la loro unione ha minimo 22 individui e che hanno 18 amici in comune, di quanti amici è formato ogni gruppo?

Dalla formula risulta

Definizione 1.6.3 [Differenza] Dati due insiemi A e B (non necessariamente non vuoti), si definisce differenza tra A e B l’insieme formato da tutti gli elementi del primo insieme che non appartengono al secondo:

Esempio n.23

Siano dati i seguenti insiemi: A={a, b, c } e B ={a, d, g }. Determinare gli insiemi: .

.

Esempio n.24

Siano dati i seguenti insiemi: . Determinare gli insiemi: .

Poiché risulta:

Definizione 1.6.4 [Differenza simmetrica] Dati due insiemi A e B (non necessariamente non vuoti), si definisce differenza simmetrica tra A e B o unione disgiunta di A e B l'insieme degli elementi che appartengono sia alla differenza tra A e B sia alla differenza tra B e A presi una sola volta:

Definizione 1.6.5 [Prodotto cartesiano] Dati due insiemi A e B non vuoti, si definisce prodotto cartesiano di A e B l'insieme delle coppie ordinate di elementi la cui prima componente appartiene al primo insieme e la seconda appartiene al secondo insieme

, essendo n( ) la cardinalità dell'insieme. Il prodotto cartesiano non è una operazione commutativa:

Esempio n.25

Siano dati i seguenti insiemi: A={a, b, c } e B ={a, d, g }. Determinare gli insiemi: A×B, B× A .

Applicando la definizione si ha:

A×B={(a, a ), (a, d ), (a, g ), (b, a ), (b, d ), (b, g ), (c, a ), (c, d ), (c, g )}

B × A={(a, a ), (a, b ), (a, c ), (d, a ), (d, b ), (d, c ), ( g, a ), ( g, b ), ( g ,c )}

Definizione 1.6.6 [Complementare] Stabilito un insieme universo cui fare riferimento, si definisce complementare di un insieme A l'insieme degli elementi dell'universo che non appartengono ad A:

essendo n( ) la cardinalità dell'insieme.

Osservazione: Al variare dell'insieme universo, varia il complementare di un suo sottoinsieme.

Osservazione: Il complementare del complementare di un insieme è l'insieme stesso.

Esempio n.26

Se consideriamo l'insieme dei leoni, possiamo scegliere come insieme universo la totalità degli animali oppure la totalità dei quadrupedi. Il complementare dell'insieme dei leoni rispetto alla totalità degli animali è diverso dal complementare dello stesso insieme rispetto alla totalità dei quadrupedi; infatti, nel primo caso considereremmo anche gli uccelli, i pesci, ecc…., mentre nel secondo caso avremmo solo quadrupedi diversi dai leoni.

Esempio n.27

In una classe di 70 alunni 10 preferiscono solo l'Inglese, 10 preferiscono solo la Matematica e 20 amano entrambe le materie. Quanti alunni non amano nemmeno una delle due discipline?

Indicato con U l'insieme universo rappresentato dalla classe, con I l'insieme degli alunni amanti dell'Inglese e con M l'insieme degli alunni che preferiscono la Matematica, gli alunni che non amano nessuna delle due discipline forma l'insieme Si ha allora:

Esempio n.28

Provare che, dati tre insiemi distinti A, B, C con A disgiunto da B e da C e con B non disgiunto da C, si abbia .

Rappresentiamo gli insiemi graficamente. Dalle ipotesi date si ha:

Risulta:

Esempion.29

Dati tre insiemi A, B, C a due a due non disgiunti, l'insieme uguale a quale insieme?

La risposta corretta è a). Infatti, rappresentando gli insiemi graficamente, dalle ipotesi date si ha:

Risulta:

Le prime tre operazioni dette sono legate fra loro dalle leggi di De Morgan, particolarmente interessanti nella logica proposizionale(6).

Proposizione 1.6.1 [Prima legge di De Morgan] Dati due insiemi A e B, il complementare della loro unione coincide con l'intersezione dei loro complementari:

Proposizione 1.6.2 [Seconda legge di De Morgan] Dati due insiemi A e B, il complementare della loro intersezione coincide con l'unione dei loro complementari:

Definizione 1.6.7 [Partizione] Dato un insieme A non vuoto, si definisce partizione di A tale che siano a due a due disgiunti e la cui unione sia l'insieme A:

Esempio n.30

• Sia dato l'insieme delle lettere dell'alfabeto. Una sua partizione è formata dai sottoinsiemi delle consonanti e delle vocali.

• Una possibile partizione dell'insieme X degli essere umani è formata dall'insieme degli esseri umani maschi e dall'insieme degli esseri umani femmine:

(X )={{maschi }, { femmine }}

Un'altra partizione è quella formata dagli insiemi dei minorenni e dei maggiorenni:

(X )={{minorenni }, {maggiorenni }}

o dagli insiemi degli essere umani con età inferiore e superiore o uguale a 40 anni:

• Una possibile partizione dell'insieme A degli animali è formata dagli insiemi dei mammiferi, degli anfibi e dei rettili:

o dagli insiemi degli animali a sangue freddo e a sangue caldo:

(X )={{animali a sangue freddo }, {animali a sangue caldo }}

1.7 Relazioni

Il concetto di funzione che abbiamo introdotto come legge tra due insiemi può essere inserito nel contesto più generale delle relazioni.

Definizione 1.7.1 [Relazione] Dati due insiemi non vuoti A e B, si definisce relazione tra A e B un qualunque sottoinsieme del loro prodotto cartesiano:

Se la coppia (a ,b ) è un elemento di R, diremo che a è in relazione con b .

può essere intesa come un elemento del prodotto cartesiano A×B la cui seconda componente b ovvero una relazione tra A e B. Questo permette di affermare che una relazione tra due insiemi può essere definita mediante una regola o un predicato (7). Se p (a, b tali che rendono vero il predicato cioè p (a, b )=1 .

Esempio n.31

Siano dati gli insiemi A={2, -2, 3, -4 } e B ={4, 9, 16 ,25 }. Una possibile relazione tra A e B è l'insieme

. Un'altra relazione può essere quella così definita:

In tal caso gli elementi (coppie) della relazione devono verificare il predicato secondo cui la seconda componente della coppia è il quadrato della prima; la relazione sarà quindi l'insieme: ={(2, 4), (-2, 4), (3, 9), (-4, 16)} .

Ogni relazione ammette diversi tipi di rappresentazione:

• rappresentazioni per elencazione e per caratteristica;

• rappresentazione sagittale: consiste nel collegare tramite una freccia orientata l'elemento dell'insieme di partenza con l'elemento dell'insieme di arrivo cosicché la coppia ordinata è un elemento delle relazione;

• rappresentazione cartesiana: si effettua rappresentando su un piano cartesiano gli elementi della relazione riportando sull'asse orizzontale gli elementi del primo insieme e sull'asse verticale gli elementi del secondo insieme;

• rappresentazione funzionale: consiste nel costruire la seguente funzione:

• rappresentazione matriciale

Esempio n.32

Studiare e rappresentare la relazione .

Tutte le coppie (x,y) da considerare sono tali che x è multiplo di y. Quindi le rappresentazioni della relazione sono:

• per caratteristica:

• per elencazione: ={(2,2), (4,2), (4,4), (6,2), (6,3), (8,2), (8,4 )}

• sagittale:

• cartesiana:

• funzionale:

r =(2,2)=r (4,2)=r (4,4 )=r (6,2)=r (6,3)=r (8,2 )=r (8,4)=1

r =(2,3)=r (2,8)=r (4,3)=r (6,4 )=r (8,3 )=0

• matriciale:

1.8 Test sugli insiemi

1. Cosa si può dire degli insiemi nella figura sottostante?

a) l'intersezione dei due insiemi è vuota

b) l'unione dei due insiemi è vuota

c) il complementare dell'unione dei due insiemi è vuoto

d) nessuna delle risposte è vera

e) i due insiemi sono disgiunti

2. Cosa si può dire degli insiemi nella figura sottostante?

e) nessuna delle risposte precedenti

3. Se A={0, 1, 2}, B={1, 3} e C={0, 1}, quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) B è contenuto in A

b) B è contenuto in C

c) A e B non sono disgiunti

d) A e C sono disgiunti

e) Nessuna delle risposte

4. Dati gli insiemi dell'esercizio precedente, quale delle seguenti affermazioni è falsa?

e) nessuna delle risposte

con B e C disgiunti?

a) (2)

b) (3)

c) (1)

d) (4)

e) nessuna delle risposte

6. In quale delle figure dell'esercizio precedente B è intersezione di due insiemi?

a) (2)

b) (3)

c) (1)

d) (4)

e) Nessuna delle risposte

e i suoi sottoinsiemi

Quale delle seguenti relazioni è falsa?

8. Siano A e B due sottoinsiemi disgiunti del medesimo universo U, allora è vero che

e) nessuna delle risposte

9. Se A?B e B nC ?Ø allora si può certamente dire che

e) nessuna delle risposte

10. Quale delle seguenti coppie è formata da insiemi equipotenti?

a) {x : x=componente di una coppia di calzini}, {1}

b) {x : x=componente di un quartetto d'archi}, {a ,b ,c ,d ,e}

c) {x : x=atrio del cuore}, {x : x=lato del triangolo}

d) {x : x=dito della mano}, {x : x=arto del corpo}

e) {x : x=ruota di una macchina}, {x : x=lato del quadrato}

11. Quale delle seguenti scritture è errata?

e) nessuna delle risposte

12. Siano dati gli insiemi A={0, 3, 5, 1} e B

a) {(0,2), (5,2), (1,2)}

b) {(2,0), (2,5)}

c) {0, 2, 5}

d) Ø

e) {(0,2), (5,2)}

13. Quale fra i seguenti è un insieme?

a) {x : x =bella scarpa }

b) {x : x =ragazzo alto }

c) {x : x =scarpa rossa }

d) {x : x =fil appassionante }

e) nessuna delle risposte

14. Quale fra i seguenti è l'insieme della parola MATEMATICA?

a) {M, A, T, E, M, A, T, I, C, A}

b) {M, A, T, E, I, C}

c) {M, A, T, E, I, C, A}

d) {M, A, T, E, M, I, C, A}

e) nessuna delle risposte

15. Siano dati gli insiemi A={0, 3, ,5, 1} e B={0, 5, 2}. Quale è la potenza dell'insieme unione ?

a) 4

b) 6

c) 5

d) 7

e) 2

16. Sia X={guanto, mano, piede, naso}, quale fra le seguenti affermazioni è vera?

e) nessuna delle risposte

17. Si sa che Marco e Paolo sono fratelli, Giovanni è fratello di Luisa, Luca è fratello di Paolo e di Giorgia, Luisa è amica di Luca e Marco, Giovanni è amico dei fratelli e della sorella di Paolo. Quali dei seguenti insiemi sono uguali?

A={fratelli di Paolo}, B={fratelli di Giorgia}

C={amici di Luisa}, D={amici di Giovanni}

a) A, C

b) C, B

c) A, B

d) A, D

e) B, D

18. Quanti tra i seguenti insiemi sono finiti?

l'insieme di tutti i numeri ; l'insieme dei lati di un pentagono ; l'insieme dei punti di una circonferenza ; l'insieme dei numeri naturali pari ; l'insieme dei numeri naturali maggiori di 2 e minori di 1100

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

19. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

e) nessuna delle risposte

20. Quale fra le seguenti è la rappresentazione per caratteristica dell'insieme {A, L, T, E, N}?

e) nessuna delle risposte

21. In una facoltà linguistica formata da 350 studenti 200 studiano Francese, 90 studiano Inglese e 180 studiano Tedesco, 30 sono appassionati di tutte e tre le lingue straniere, 50 studiano Tedesco e Inglese, nessuno ha scelto di imparare Francese e Inglese mentre 50 hanno scelto Tedesco e Francese. Quanti studenti hanno imparato altre lingue?

a) 30

b) 35

c) 40

d) 45

e) nessuno

. Si considerano il sottoinsieme B dei numeri divisibili per 2, il sottoinsieme C dei numeri divisibili per 3, il sottoinsieme D dei numeri divisibili per 5. Si può certamente dire che:

a) ogni numero divisibile per 2 è divisibile per 3

b) ogni numero divisibile per 2 è divisibile per 5

c) ogni numero divisibile per 3 è divisibile per 5

d) ogni numero divisibile per 2 e per 5 è divisibile per 3

e) gli insiemi B, C e D non formano una partizione di A

23. In un asilo ci sono 15 bambini di cui 7 giocano con la bicicletta, 9 con il pallone, 2 non giocano né con le bicicletta né con il pallone. Dire quanti bambini giocano sia con la bicicletta sia con il pallone.

a) 2

b) 13

c) 4

d) 5

e) 3

24. In una sfilata di 100 modelle, 70 sfilano in abito bianco e 50 portano scarpe argentate. Quante sono le modelle che sicuramente indossano un abito bianco e portano scarpe argentate?

a) 18

b) 19

b) 19

d) 21

e) 22

25. L'intersezione di due insiemi ha almeno 6 elementi. Se ciascuno dei due insiemi ha 10 elementi, quanto è la cardinalità N della loro unione?

c) N<14

d) N>14

e) nessuna delle risposte precedenti

26. Dati gli insiemi A, B, C, , cosa si può certamente affermare?

e) nessuna delle risposte precedenti

è disgiunto dagli altri due insiemi?

a) 1)

b) 2)

c) 3)

d) non esiste una rappresentazione grafica dell'insieme

e) nessuna delle risposte precedenti

28. Siano A l'insieme dei panettieri e B l'insieme degli insegnanti. Cosa si può dedurre dal fatto che alcuni panettieri sono anche insegnanti?

a) A e B sono disgiunti

b) gli insegnanti non possono essere panettieri

c) A e B non sono disgiunti

d) gli sono insegnanti che non sono panettieri

e) nessuna delle risposte precedenti

che associa a ogni numero reale positivo il suo quadrato

a) è iniettiva e non suriettiva

b) è biiettiva

c) è suriettiva

d) è suriettiva ma non iniettiva

e) non è né iniettiva né suriettiva

che associa a ogni numero reale il suo quadrato

a) è iniettiva e non suriettiva

b) è biiettiva

c) è suriettiva

d) è suriettiva ma non iniettiva

e) non è né iniettiva né suriettiva

che associa a ogni numero reale positivo la sua radice quadrata aritmetica

a) è iniettiva e non suriettiva

b) è biiettiva

c) è suriettiva

d) è suriettiva ma non iniettiva

e) non è né iniettiva né suriettiva

che associa a ogni numero reale non negativo la sua radice quadrata aritmetica

a) è iniettiva e non suriettiva

b) è biiettiva

c) è suriettiva

d) è suriettiva ma non iniettiva

e) non è né iniettiva né suriettiva

33. La funzione definita in A a valori in B essendo A l'insieme dei telefoni cellulare e B l'insieme dei possessori.

a) è iniettiva e non suriettiva

b) è biiettiva

c) è suriettiva

d) è suriettiva ma non iniettiva

e) non è né iniettiva né suriettiva

34. Due insiemi sono uguali se

a) hanno lo stesso numero di elementi

b) hanno la stessa cardinalità

c) non sono disgiunti

d) hanno gli stessi elementi

e) Nessuna delle risposte precedenti

35. Se A e B sono due insiemi disgiunti e B è disgiunto da C, si può certamente dire che:

a) A e C sono disgiunti

b) A e C non sono disgiunti

c) A è contenuto in C

d) C è contenuto in A

e) nessuna delle risposte precedenti

36. Siano dati due insiemi A e B la cui unione ha al più 20 elementi. Sapendo che i due insiemi hanno 7 elementi in comune e la cardinalità di A è il doppio della cardinalità di B, quanti elementi ha B?

37. Sia A un sottoinsieme proprio di B. Una sola affermazione tra le seguenti è falsa. Quale?

a) almeno un elemento di B non appartiene ad A

b) ci sono elementi di B che non possono appartenere ad A

c) non ci sono elementi di A che non appartengono a B

d) non tutti gli elementi di B stanno in A

e) nessuna delle risposte precedenti è vera

38. Dati tre insiemi A, B e C, quale dei seguenti insiemi contiene gli elementi di B che non stanno né in A né in C?

39. È possibile suddividere la popolazione umana in quattro gruppi sulla base di due specificità antigeniche (A e B). Alcuni individui presentano la specificità A (gruppo A), altri la specificità B (gruppo B), altri entrambe (gruppo AB), ed infine vi sono individui in cui non e' espressa ne' l'una ne' l'altra specificità (gruppo 0). In uno studio sui gruppi sanguigni ABO condotto su 6000 cinesi, 2527 avevano l'antigene A e 2234 l'antigene B, 1846 nessun antigene. Quanti individui avevano entrambi gli antigeni? (Odontoiatria)

a) Non si può rispondere

b) 293

c) 4154

d) 4761

e) 607

40. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini: italiani – pensionati – persone con più di 55 anni

a) diagramma 4

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 5

e) diagramma 7

41. Siano A l'insieme dei punti di un cerchio unitario centrato nell'origine di un sistema di assi cartesiani e B la prima bisettrice del medesimo sistema. Allora

a) A \ B è un segmento

c) gli elementi di A \ B sono i punti di intersezione tra il cerchio e la bisettrice

d) B \ A è una retta

42. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

padri – madri – figli/e

a) diagramma 4

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 5

e) nessuna delle risposte precedenti

43. É dato in N l'insieme A={1,2 ,3 ,6}. Qual'è la sua rappresentazione per caratteristica?

. Chi è l'intersezione?

a) {3,6}

b) {2,6}

c) {2,3}

d) {2,3,6}

e) {1,2,3,6}

45. Se un insieme ha n elementi, quanti elementi ha il suo insieme delle parti?

a) n

c) n²

d) 2n

e) n n

46. In un paese di confine il 60% degli abitanti parla la lingua A, il 45% parla la lingua B. Quale percentuale parla entrambe le lingue?

a) 10%

b) 12%

c) 5%

d) 34%

e) 11%

47. In un cesto ci sono N mele di cui 30 rosse e 20 gialle. Sapendo che 10 sono marce e 30 sono sane, quanto vale N?

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

e) 70

48. In un gruppo di ragazzi 15 amano ballare in discoteca e 21 amano andare al cinema. Se 5 di essi amano fare entrambe le cose, da quanti ragazzi è formato il gruppo?

a) 22

b) 24

c) 25

d) 30

e) 31

49. Una classe è formata da 30 studenti di cui alcuni sono pendolari. Sapendo che 9 prendono sia il pullman sia il treno, 13 prendono almeno il pullman e 20 prendono il treno. Quanti studenti prendono solo il pullman?

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

50. Si consideri il testo precedente. Quanti degli studenti non sono pendolari?

a) 12

b) 11

c) 21

d) 6

e) 18

51. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

cani – volatili - quadrupedi

a) diagramma 4

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 5

e) diagramma 2

52. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

rettili – anfibi - mammiferi

a) diagramma 6

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 5

e) diagramma 4

53. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

maschi – studenti/studentesse – lavoratori/lavoratrici

a) diagramma 4

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 5

e) diagramma 7

54. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

patate – tuberi - pomodori

a) diagramma 4

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 5

e) diagramma 2

55. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

antibiotici – medicinali in pillole – medicinali in bustina

a) diagramma 4

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 5

e) nessuna delle risposte precedenti

56. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

antinfiammatori – analgesici - antistaminici

a) diagramma 4

b) diagramma 2

c) diagramma 3

d) diagramma 5

e) diagramma 1

57. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

grattacieli – edifici a più di un piano - case

a) diagramma 4

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 7

e) diagramma 5

58. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

famiglie con più di due componenti – famiglie con più di 5 componenti – famiglie con meno di 4 componenti

a) diagramma 4

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 7

e) diagramma 2

59. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

quadrati – rettangoli - rombi

a) diagramma 4

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 5

e) nessuna delle risposte

60. Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini:

insetti – animali – esseri viventi

a) diagramma 4

b) diagramma 1

c) diagramma 3

d) diagramma 5

e) diagramma 2

61. L'elemento indicato in figura rappresenta:

a) un medico 50-enne

b) un 50-enne laureato

c) un laureato qualunque

d) un 50-enne laureato che non fa la professione di medico

e) un 50-enne non laureato

62. Sulla base della relazione esistente tra nuclei familiari con meno di 4 componenti, nuclei familiari con più di 2 componenti e nuclei familiari con più di 5 componenti, l'elemento indicato in figura rappresenta:

a) una famiglia con 2 componenti

b) una famiglia con 4 componenti

c) una famiglia con 6 componenti

d) una famiglia con 3 componenti

e) una famiglia con 5 componenti

63. Sulla base della relazione esistente tra nuclei familiari con più di 3 componenti, nuclei familiari con meno di 7 componenti e nuclei familiari con più di 5 componenti, l'elemento indicato in figura rappresenta:

a) una famiglia con 3 componenti

b) una famiglia con 4 componenti

c) una famiglia con 5 componenti

d) una famiglia con 6 componenti

e) una famiglia con 7 componenti

64. Sulla base della relazione esistente tra palazzi con almeno 6 piani, palazzi con almeno 10 piani e palazzi con al più 4 piani, l'elemento indicato in figura non rappresenta un palazzo con:

a) 6 piani

b) 10 piani

c) 9 piani

d) 7 piani

e) 8 piani

65. Detti A l'insieme dei numeri naturali multipli di 12, B l'insieme dei numeri naturali divisibili per 5 e C l'insieme dei numeri naturali la cui somma delle cifre è divisibile per 3, quale numero rappresenta l'elemento indicato in figura?

a) 60

b) 30

c) 18

d) 120

e) 50

66. In base al test precedente quale simbolo non è rappresentato da alcun numero?

a) ♠

b) ♣

c) ♥

d) ♦

e) ▲

67. Sulla base esistente fra i termini: scandinavi, persone bionde, donne, cosa NON può rappresentare l'elemento in figura?

a) una donna scandinava

b) una persona bionda scandinava

c) una donna giapponese bionda

d) uno scandinavo biondo

e) una scandinava bionda

68. Sulla base esistente fra i termini: gatti, felini, mammiferi, quale animale rappresenta l'elemento in figura?

a) una rana

b) un serpente

c) un delfino

d) una balena

e) una pantera

69. Sulla base esistente fra i termini: pantaloni, camicie, indumenti, cosa rappresenta l'elemento in figura?

a) una gonna rossa

b) una camicia a maniche corte

c) un paio di pantaloni blu

d) pantaloni da donna

e) nessuna delle risposte è corretta

70. Sulla base esistente fra i termini: dolci, pasticcini, ingredienti, cosa rappresenta l'elemento in figura?

a) cannella

b) zucchero

c) cacao

d) torta

e) cioccolata

1.9 Soluzioni e commenti ai test sugli insiemi

Soluzione n.1: d)

Gli insiemi considerati sono non vuoti e si intersecano. Pertanto la loro intersezione è non vuota o equivalentemente gli insiemi non sono disgiunti, la loro unione è non vuota avente per complementare un insieme ancora non vuoto.

Soluzione n.2: c)

Le risposte a) e b) sono false perché l'insieme A interseca gli altri due; la risposta d) è falsa perché i tre insiemi si intersecano contemporaneamente; la risposta e) è falsa perché rappresentando graficamente le relazioni della risposta c) esse risultano vere.

Soluzione n.3: c)

.

Soluzione n.4: c)

Per indicare che l'insieme A è sottoinsieme di Bse A è sottoinsieme proprio di B. In questo caso il simbolo {1} rappresenta un insieme e, poiché 1 è elemento di A.

Soluzione n.5: c)

Poiché B e C sono disgiunti, l'unico caso in cui i due insiemi soddisfano questa condizione è il grafico (1)

Soluzione n.6: b)

Soluzione n.7: e)

Le rappresentazioni grafiche degli insiemi in esame sono:

Si vede facilmente che le prime quattro relazioni sono tutte vere; l'ultima relazione è falsa in quanto A1 \ A4 rappresenta il quadrato di lato 1/2 privo del lato sinistro.

Soluzione n.8: d)

La relazione della risposta b) dà come risultato l'insieme B; essa risulta quindi falsa. Inoltre, poiché i due insiemi sono disgiunti ovvero la loro intersezione è vuota e intersecando con l'insieme vuoto un qualunque altro insieme si ottiene sempre l'insieme vuoto, la risposta c) è falsa. Unendo, invece, all'insieme vuoto un qualunque altro insieme, si ottiene sempre lo stesso insieme. Di conseguenza la risposta a) è falsa. Ragionando nello stesso modo

Soluzione n.9: c)

I casi da considerare sono tre

Il terzo caso contraddice la risposta a); gli ultimi due casi contraddicono la risposta b); il primo caso contraddice la risposta d); poiché B e C si intersecano, è sicuramente vero che un elemento di B indipendentemente che appartenga ad A o no, appartiene anche a C.

Soluzione n.10: e)

Affinché due insiemi siano equipotenti è necessario che abbiano lo stesso numero di elementi.

Soluzione n.11: d)

Per indicare che l'insieme A è sottoinsieme di Bse A è sottoinsieme proprio di B. In questo caso il simbolo {1} rappresenta un insieme e, poiché 1 è elemento dell'insieme A.

Soluzione n.12: e)

Per definizione il prodotto cartesiano di due insiemi A e B e il secondo insieme è B \ A.

Soluzione n.13: e)

Una caratteristica di un insieme è la distinguibilità dei suoi elementi in modo oggettivo. L'essere bello, alto o appassionante sono attributi soggettivi.

Soluzione n.14: b)

Una caratteristica di un insieme è la distinguibilità dei suoi elementi in modo oggettivo. Ciò implica che gli elementi devono essere tutti distinti e non ripetuti.

Soluzione n.15: c)

Risulta

.

Soluzione n.16: c)

Gli elementi di X sono: guanto, mano, piede, naso Di conseguenza la risposta a) è falsa; accoppiando questa considerazione alla definizione di sottoinsieme, risultano false anche le risposte b), d) ed e)

Soluzione n.17: a)

Poiché risulta A={Marco, Luca}, B={Marco, Luca, Paolo}, C={Marco, Luca}, D={Marco, Luca, Giorgia}, gli insiemi A e C sono uguali.

Soluzione n.18: c)

Un insieme è finito se la sua cardinalità è finita ovvero è un numero naturale.

Soluzione n.19: b)

Affinché un insieme sia sottoinsieme di un altro è necessario che ogni suo elemento appartenga al secondo insieme.

Soluzione n.20: c)

ALTALENA è l'unica parola che contiene tutti gli elementi dell'insieme {A, L, T, E, N}

Soluzione n.21: c)

Indicati con U, I, T ed F rispettivamente gli insiemi degli studenti iscritti alla facoltà linguistica, degli studenti che studiano Inglese, Tedesco e Francese, si osserva che: n(U )=350, n( F )=200, n (I )=90, n (T . Trattandosi di insiemi finiti si ha:

In alternativa si ha:

=350-200-180-90+80+30+80-30=40

Soluzione n.22: e)

Fra i numeri dell'insieme A alcuni sono multipli di 2 e di 3, quindi divisibili per entrambi i numeri; altri sono solo multipli di 2 e non di 3 e viceversa; alcuni sono multipli di 2 e di 5, quindi divisibili per entrambi i numeri, altri sono solo multipli di 2 e non di 5 e viceversa. Lo stesso ragionamento vale per 3 e 5. Infine ci sono elementi che non sono divisibili né per 2 né per 3 né per 5. La rappresentazione grafica è la seguente:

Per la presenza di elementi di A non appartenenti ad alcun sottoinsieme considerato e per l'appartenenza di altri suoi elementi a più di un sottoinsieme, gli insiemi B, C e D non formano una partizione di A.

Soluzione n.23: e)

Indicati con U, B e P rispettivamente l'insieme di tutti i bambini dell'asilo, dei bambini che usano la bicicletta e di quelli che giocano con il pallone, si osserva che: n(U )=15, n(B )=7, n (Pessendo x 1e x 2 i due bambini che non giocano né con la palla né con la bicicletta. Ne segue che:

Poiché un elemento di B o di P non appartiene all'insieme {x1, x2 }, l'espressione precedente diventa:

=3 .

In alternativa riassumiamo i dati con il seguente grafico:

. Risulta: 15=2 + y +x +z =2+(7-x )+x +(9- x)=18-x. Si ricava facilmente x =3 .

Soluzione n.24: c)

Indicati con A, B .

Soluzione n.25: a)

Indicati con A e B i due insiemi, si ha n( A)=10 ,n (B

Risulta:

Si osserva che:

Quindi si può concludere che la cardinalità dell'unione dei due insiemi è al più 14.

Soluzione n.26: b)

. Un modo grafico per arrivare alla conclusione trovata è dato dall'immagine seguente che raffigura tutti i casi soddisfacenti le condizioni assegnate:

Soluzione n.27: b)

equivale a dire che i due insiemi si intersecano; dire che C è disgiunto dagli altri due insiemi significa dire che esso non interseca né A né B:

è la parte in grigio della seguente immagine:

risulta:

Soluzione n.28: c)

Se alcuni panettieri sono anche insegnanti, allora i due insiemi non sono disgiunti.

Soluzione n.29: b)

L'iniettivita della funzione è verificata poiché se due numeri reali positivi hanno la stessa immagine, cioè lo stesso quadrato, coincidono. Inoltre la funzione risulta suriettiva in quanto ogni numero reale positivo ovvero ogni elemento dell'insieme di arrivo è il quadrato di un numero reale positivo ovvero è immagine di un elemento dell'insieme di partenza.

Soluzione n.30: e)

La funzione non è iniettiva poiché non è vero che due numeri reali aventi la stessa immagine, cioè lo stesso quadrato, coincidono.; basti pensare a x =-2, y =+2. Essa non è neanche suriettiva poiché non è vero che ogni numero reale ovvero ogni elemento dell'insieme di arrivo è il quadrato di un numero reale ovvero è immagine di un elemento dell'insieme di partenza; basti pensare ai numeri negativi.

Soluzione n.31: a)

Ricordiamo che la radice quadrata aritmetica di un numero a è quell'unico numero b avente lo stesso segno di a tale che b 2=a. La funzione risulta, allora, iniettiva poiché se due numeri reali positivi hanno la stessa radice quadrata aritmetica, coincidono; non risulta suriettiva poiché esistono numeri reali ovvero elementi dell'insieme di arrivo che non sono l'immagine di alcun numero reale positivo. Si pensi ai numeri non positivi cioè negativi o nulli.

Soluzione n.32: b)

La funzione risulta iniettiva poiché se due numeri reali positivi o nulli hanno la stessa radice quadrata aritmetica, coincidono; risulta anche suriettiva poiché ogni numero reale non negativo ovvero elementi dell'insieme di arrivo sono l'immagine di qualche numero reale non negativo.

Soluzione n.33: d)

La funzione è non iniettiva poiché uno stesso possessore può avere due telefoni cellulare distinti ma suriettiva in quanto a ogni possessore corrisponde almeno un telefono cellulare.

Soluzione n.34: d)

Soluzione n.35: e)

Il fatto che B sia disgiunto da A e da C non dà informazioni sul legame tra A e C.

Soluzione n.36: e)

.

Soluzione n.37: e)

Dire che A è sottoinsieme proprio di B equivale a dire che tutti gli elementi di A sono elementi di B. Quindi ci sono elementi di B che non appartengono o che non possono appartenere ad A; inoltre non esistono elementi di A che non stanno in B. Infatti, se così non fosse, esisterebbe almeno un elemento di A che non stia in B ovvero A non sarebbe sottoinsieme proprio di B.

Soluzione n.38: a)

Bisogna eliminare da B tutti gli elementi che stanno o in A o in C. Se togliessimo solo gli elementi in comune ad

A e a C, l'insieme B conterrebbe ancora elementi di A e di C.

Soluzione n.39: e)

risulta:

Poiché un elemento di A o di B non appartiene all'insieme C, la formula diventa:

.

In alternativa rappresentiamo graficamente la situazione in cui x rappresenta il numero dei cinesi con l'antigene A, z rappresenta il numero dei cinesi con l'antigene B, y rappresenta il numero dei cinesi con gli antigeni A e B:

Risulta 6000=n(U )=1846+x + y+z =1846+(2527- y )+ y+(2234- y ) .

Soluzione: n.40: d)

Il diagramma 5 è l'unico che presenta tutte le possibili combinazioni tra gli insiemi in esame.

Soluzione n.41: e)

Gli elementi di B \ A sono tutti gli elementi di B che non appartengono ad A. Pertanto essi sono tutti i punti (x, x ) della prima bisettrice esterni al cerchio.

Soluzione n.42: e)

Tutti i genitori sono figli. Quindi l'insieme dei figli deve contenere quelli delle madri e dei padri. Inoltre, un padre non può essere madre e viceversa; di conseguenza i due insiemi devono essere disgiunti. Infine ci sono figli che non sono né madri né padri, quindi l'unione degli insiemi dei padri e delle madri non deve formare una partizione dell'insieme dei figli. Il grafico giusto è:

Soluzione n.43: a)

Tutti gli elementi di A sono numeri naturali divisori di 6.

Soluzione n.44: e)

É utile in tal caso rappresentare i due insiemi elencandone gli elementi: A={1,2 ,3,6 ,9,18 } ,

B ={1,2 ,3 ,4 ,6,8 ,12 ,24 }

Soluzione n.45: d)

Soluzione n.46: c)

Si tratta di applicare la formula che fornisce la cardinalità dell'unione di due insiemi.

Soluzione n.47: d)

Se di N mele 30 sono rosse e 20 gialle, il numero totale di mele è proprio N.

Soluzione n.48: e)

Se N è il numero dei ragazzi, si ha N=(15-5)+5+(21-5)=31.

Soluzione n.49: b)

Fra tutti gli studenti pendolari che prendono il pulman ci sono sia coloro i quali prendono almeno questo mezzo di trasporto sia coloro i quali prendono anche il treno. Quindi di 13 bisogna eliminare 9 studenti.

Soluzione n.50: d)

Il numero degli studenti non pendolari è dato dalla differenza tra il numero totale degli studenti e il numero dei pendolari.

Soluzione.51: e)

I volatili non sono né quadrupedi né cani, quindi l'insieme dei volatili è disgiunto dagli altri due; d'altra parte tutti i cani sono quadrupedi e ci sono quadrupedi che non sono cani, quindi l'insieme dei cani è un sottoinsieme proprio di quello dei quadrupedi.

Soluzione n.52: a)

Gli animali vengono distinti in mammiferi, rettili e anfibi per le loro specifiche caratteristiche. Di conseguenza i tre insiemi sono a due a due disgiunti.

Soluzione n.53: d)

Analizziamo il diagramma:

Soluzione n.54: e)

Le patate sono tuberi poiché nascono sotto terra e non tutti i tuberi sono patate, basti pensare alle carote; i pomodori non sono né tuberi né patate.

Soluzione n.55: c)

Gli antibiotici possono avere la forma di pillola o essere in bustina ma ci possono essere anche antibiotici in forma liquida. Inoltre se un medicinale ha la forma di pillola non può essere in bustina.

Soluzione n.56: b)

I farmaci antinfiammatori formano una parte degli analgesici rimediando al dolore attraverso la riduzione dell'infiammazione; non tutti gli analgesici sono antinfiammatori poiché, a differenza di questi,vengono utilizzati per lenire il dolore riducendolo, senza però intervenire sulle cause che l'hanno provocato. Gli antistaminici sono invece medicinali utilizzati per contrastare le manifestazioni allergiche.

Soluzione n.57: d)

I grattacieli sono edifici a più piani; ci sono case a più piani e case monopiano; non tutti gli edifici a più piani sono grattacieli o case.

Soluzione n.58: d)

Detta n la numerosità di una famiglia, indichiamo con A l'insieme delle famiglie con n>2, con B l'insieme delle famiglie con n<4, con C l'insieme delle famiglie con ncioè se una famiglia è composta da meno di 4 componenti non può essere composta nel frattempo da più di 5 componenti. Inoltre se n>2 possono accadere le seguenti situazioni: 1) n={famiglie con n; 3) n={famiglie con n

Soluzione n.59: e)

Un rettangolo è una figura geometrica piana avente coppie di lati opposti paralleli e quattro angoli retti; un rombo è una figura geometrica piana avente coppie dei lati opposti paralleli e tutti congruenti; un quadrato è una figura geometrica piana avente coppie di lati opposti paralleli, tutti i lati congruenti e quattro angoli retti. La figura che rappresenta i tre insiemi è:

Soluzione n.60: a)

Gli insetti sono animali ed esseri viventi; tutti gli animali sono esseri viventi; ci sono animali che non sono insetti ed esseri viventi che non sono insetti quindi non sono animali.

Soluzione n.61: d)

Il grafico può essere letto in questo modo:

Soluzione n.62: c)

In base al test 58 l'elemento rappresentato in figura è una famiglia con più di 5 componenti.

Soluzione n.63: e)

Ovviamente se un nucleo familiare ha più di 5 componenti, ne ha anche più di 3 ovvero, detta n la numerosità di una famiglia e indicando con A l'insieme delle famiglie con n>3, con B l'insieme delle famiglie con n<7, con C l'insieme delle famiglie con noppure una famiglia con più di cinque elementi può averne meno