Campo dei quozienti

In algebra, il campo dei quozienti o campo delle frazioni o campo quoziente di un dominio d'integrità unitario $D$ è un campo $F$ tale che ogni elemento di $F$ può essere scritto come una frazione $a/b$ , dove $a$ e $b$ sono elementi di $D$ e $b$ è diverso dallo zero di $D$ , e dove la frazione $a/b$ è definita (mediante la costruzione descritta nel seguito) come una classe di equivalenza di coppie $(a,b)$ .

Ad esempio, l'insieme $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali è il campo dei quozienti dell'insieme $\mathbb {Z}$ dei numeri interi. Il campo delle frazioni di un campo $F$ coincide con sé stesso.

È un caso particolare di localizzazione di un anello.

Costruzione

La costruzione del campo dei quozienti di un dominio d'integrità unitario ricalca la costruzione formale dei razionali a partire dagli interi: nel prodotto cartesiano $D\times (D\setminus \{0\})$ si definisce la relazione di equivalenza

(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc.

Nell'insieme quoziente $F$ di questa relazione si definiscono poi le due operazioni tra classi di equivalenza

[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],

[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].

che sono operazioni interne e definite in $F$ e danno ad esso la struttura di campo. All'interno di $F$ gli elementi del tipo $[(a,1)]$ rappresentano gli elementi di $D$ , ovvero l'insieme $D^{*}=\{[(a,1)]|a\in D\}\subset F$ è una copia isomorfa di $D.$

L'elemento di $F$ costituito dalla classe di equivalenza $[(a,b)]$ di una coppia $(a,b)$ viene anche indicato col simbolo di frazione $a/b$ .^[1]

Proprietà

Il campo dei quozienti di un dominio d'integrità assegnato è unico, ovvero tutti i campi dei quozienti di un dato dominio d'integrità unitario sono isomorfi tra loro; inoltre i campi dei quozienti di due domini d'integrità unitari isomorfi sono a loro volta isomorfi.

Note

^ può essere indicato anche come $ab^{-1}$ , dove (con abuso di notazione) si usano i simboli di elementi di $D$ per indicare gli elementi di $D^{*}$ ad essi corrispondenti, e dunque $b^{-1}$ è ben definito essendo l'inverso moltiplicativo, in $F$ , di $[(b,1)]$ .