Discussione:Insieme di Cantor

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Monitoraggio effettuato nel dicembre 2011

forzature e inesattezze troppo sostanziali

L'insieme qui raffigurato e descritto non può contenere tanti punti quanti ne contiene il segmento reale (0,1); infatti, mancano tutti i punti della serie geometrica citata, quella di ragione 2/3.

Il ricorso alla convenzione matematica per cui un numero decimale illimitato periodico con periodo 3, 6 o 9 si identifica col numero a cui esso tende a meno di un infinitesimo è, in questo caso, una forzatura. Prendiamo ad esempio 1/3, a cui tende 0.333... . Si asporta l'intervallo sinistro, così che 0.333... finisce in questo "insieme di Cantor". Ora, 0.333... esiste anche sul segmento reale (0,1), e sempre sul segmento reale (0,1) esiste 1/3, che però non trova corrispondenza sull'insieme creato dall'iterazione, quello appunto qui chiamato "insieme di Cantor". Ne deriva che non c'è alcuna funzione suriettiva tra questo "insieme di Cantor" e il segmento reale (0,1). Se si riconosce 0.333... come distinto da 1/3, lo si deve fare su entrambi gli insiemi.

L'illusione che si crea con la pseudo-dimostrazione di questa pagina non approda a niente di più di un paradosso del tipo di quello di Achille e la tartaruga. Tale "insieme di Cantor" sembra, al contempo, un insieme virtualmente vuoto, un insieme costituito per lo più da spazio vuoto, un insieme numerabile, un insieme con la potenza del continuo(?) e quindi non numerabile. Anzi, peggio: si ha come l'impressione che alcune di queste proprietà possano coesistere.

Vale la pena ricordare che finora risulta impossibile trovare un algoritmo, in forma algebrica o "grafica"(come nel caso dell'argomento diagonale di Cantor) che arrivi a contare, individuandoli uno per uno, tutti i numeri reali. E ciò, non tanto perché tra due numeri reali quantunque vicini se ne può sempre trovare un terzo (questo succede anche nell'insieme dei razionali), quanto perché non si trova un criterio per ordinare i numeri irrazionali in relazione ai razionali (lo si potrebbe fare separatamente, su ciascun insieme). L'iterazione descritta in questa pagina non mi pare un algoritmo valido, perché produce un insieme pieno di buchi, anche se noti, e inoltre perché, di fatto, non "conta" i numeri reali, cioè non dimostra la numerabilità di R, ma crea, di volta in volta, intervalli isolati che contengono numeri non "enumerati". In definitiva, dimostra la non numerabilità di R.

Vale anche la pena ricordare che la frazione -che l'asportazione di intervalli produce- non è il solo procedimento attraverso il quale si giunge ai numeri decimali illimitati periodici. Molti di questi numeri "esistono" sulla retta reale come costanti matematiche. Ad esempio, è noto che la serie geometrica di ragione 1/2 non converge esattamente a 2, ma a 1.999 ... . Questo implica che, per convenzione matematica, cioè al bisogno, tali irrazionali vengano identificati coi razionali a cui tendono (a meno, cioè, di un valore infinitesimo), ma che siano in realtà ben distinti sulla retta reale.

A proposito dell'insieme descritto in questa pagina ho sempre fatto uso del virgolettato, soprattutto perché

1. non mi risulta che Cantor abbia introdotto un insieme noto come "insieme di Cantor"

2. non mi risulta neanche che esista un insieme noto come "insieme di Cantor", ma soltanto che esistano il teorema di Cantor, l'argomento diagonale di Cantor, e la polvere di Cantor

3. quello qui descritto non è l'insieme di Cantor, ma appunto la "polvere di Cantor"