Funzione di Liouville

In teoria dei numeri, la funzione di Liouville, indicata con $\lambda (n)$ e così chiamata in onore di Joseph Liouville, è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa definita come

$\lambda \left(n\right)=\left(-1\right)^{\sum _{k=1}^{r}e_{k}},$

dove si intende che $n$ sia un intero positivo e la sua fattorizzazione sia

$n=\prod _{k=1}^{r}p_{k}^{e_{k}}.$

Equivalentemente, la funzione di Liouville si può definire come:

$\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},$

dove $\Omega (n)$ è il numero di fattori primi di $n,$ contati nella loro molteplicità.

Dal momento che $\Omega (n)$ è additiva, $\lambda$ è completamente moltiplicativa. Inoltre $\Omega (1)=0$ e quindi $\lambda (1)=1.$ La funzione di Liouville soddisfa le seguenti identità:

$\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1,&{\text{se }}n{\text{ è un quadrato perfetto}},\\0,&{\text{altrimenti}}.\end{cases}}$

La funzione di Liouville è collegata alla funzione zeta di Riemann dalla seguente formula:

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.$

La serie di Lambert per la funzione di Liouville è

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),$

con la somma a sinistra che è un caso particolare della funzione theta di Ramanujan e $\vartheta _{3}(q)$ è una delle funzione theta di Jacobi.

La funzione di Liouville è correlata alla funzione di Möbius dalla seguente identità:

$\lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).$

Congetture

Pólya congetturò che

$L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0,$

per $n>1$ (congettura di Pólya). Ciò si rivelò essere falso essendo $n=906150257$ un controesempio (trovato da Minoru Tanaka nel 1980). Non è noto se $L(n)$ cambi segno infinite volte. Inoltre, definendo

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}$

si congetturava che $M(n)\geq 0$ per $n$ sufficientemente grande (questa congettura è a volte attribuita impropriamente a Pál Turán). Ciò fu confutato da Haselgrove nel 1958, che dimostrò che $M(n)$ assume valori negativi un numero infinito di volte. La conferma di questa congettura avrebbe condotto a una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann, come è stato mostrato da Pál Turán.

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.12).
• Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
• Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
• Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
• M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187-189, (1980).

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Liouville, su MathWorld, Wolfram Research.