Insieme di definizione

In matematica, l'insieme di definizione è l'insieme massimale in cui è definita un'espressione data. Più precisamente: dati due insiemi $X$ e $Y$ e una regola di associazione $x\mapsto f(x)$ che stabilisce come assegnare a un valore dato $x\in X$ un valore $f(x)\in Y$, ci si può porre il problema di determinare l'insieme (o campo) di definizione (o di esistenza) di una tale regola di associazione, cioè l'insieme massimale $A\subseteq X$ in cui l'espressione $f(x)$ ha senso. In tal caso possiamo allora definire una funzione $f\colon A\to Y,x\mapsto f(x).$ Nel caso di funzioni a una variabile reale, il problema consiste nel determinare il massimo sottoinsieme $A\subseteq \mathbb {R}$ sul quale è possibile definire una funzione $f\colon A\to \mathbb {R}$ che rispetti $x\mapsto f(x)$, cioè l'insieme di tutti i numeri reali $x\in \mathbb {R}$ per i quali l'espressione $f(x)$ è ben definita. In altri termini, definita una funzione $x\mapsto f(x)$ il cui dominio $B$ sia contenuto in $\mathbb {R}$, avremo necessariamente $B\subseteq A$.

Regole

Le regole per determinare il campo di esistenza di una funzione reale a variabile reale sono diverse, a seconda della natura della funzione:

• se la funzione è algebrica razionale fratta, ossia se possiede un denominatore in cui compare la variabile $x$, allora il denominatore dovrà essere posto diverso da $0$;
• se la funzione è algebrica irrazionale intera, cioè se la variabile $x$ compare sotto il segno di radice e la radice ha indice pari, allora il radicando deve essere posto maggiore o uguale a $0$;
• se la funzione è trascendente di tipo logaritmico, cioè se la variabile $x$ compare nell'argomento del logaritmo, allora tale argomento deve essere posto maggiore di $0$;
• se la funzione è una tangente, allora l'argomento della tangente deve essere posto diverso da ${\frac {\pi }{2}}+k\pi$;
• se la funzione è una cotangente, allora l'argomento della cotangente deve essere posto diverso da $k\pi$;
• se la funzione è un arcoseno o un arcocoseno, allora l'argomento di tale funzione deve essere compreso tra $\left[-1,1\right]$.

Esempi

• L'espressione $f(x)=\log {\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}$ è priva di significato se è verificata una delle seguenti condizioni:

${\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}\leqslant 0$ perché il logaritmo non esiste per argomenti negativi

$x+2<0$ perché una radice quadrata non esiste per radicandi negativi

$x-5=0$ perché una frazione non esiste per denominatori che si annullano,

dunque il sottoinsieme reale massimale sul quale può essere definita una funzione di variabile reale $f\colon A\to \mathbb {R}$ con questa associazione è dato dall'insieme delle soluzioni del sistema:

${\begin{cases}{\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}>0\\x+2\geqslant 0\\x-5\neq 0\end{cases}}$.

Significa quindi che per ogni

$D\subseteq A=(5,+\infty )$

è possibile definire una funzione

${\begin{array}{ccc}f\colon D&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\log {\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}.\end{array}}$

• La funzione $f(x)=e^{\frac {1}{x}}$ è una funzione esponenziale; poiché la variabile $x$ compare a denominatore dell'esponente, l'insieme di definizione di questa funzione è dato da tutti i valori reali di $x\neq 0$.

Bibliografia

• Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.

Voci correlate

• Dominio (matematica)
• Funzione (matematica)
• Studio di funzione