Integrale di linea di prima specie

In analisi matematica e calcolo integrale, un integrale di linea di prima specie è un integrale di una funzione reale o complessa di una o più variabili reali, cioè di un campo scalare, lungo una curva.

Per le funzioni reali di una variabile (reale o complessa), la definizione e il calcolo coincidono con quella di integrale definito e integrale complesso. Nel seguito si espone il caso di integrazione curvilinea di funzioni reali di due o tre variabili, con immediate estensioni ad un numero qualsiasi di variabili.

L'analogo integrale di funzioni vettoriali è l'integrale di linea di seconda specie.

La curva regolare

Una curva, in forma parametrica, è una funzione vettoriale di una sola variabile $\phi (t):I=[a,b]\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}$ del tipo:

\phi (t)=(\phi _{1}(t),\phi _{2}(t),\phi _{3}(t))

Si può scrivere anche:

\phi (t):{\begin{cases}x=\phi _{1}(t)\\y=\phi _{2}(t)\\z=\phi _{3}(t)\end{cases}}

La variabile $t\in I$ si chiama parametro. Una curva è una funzione di classe $C^{1}$ in un intervallo se le funzioni $\phi _{1}(t)\$ , $\phi _{2}(t)\$ e $\phi _{3}(t)\$ hanno derivate continue in tale intervallo. Una curva $C^{1}\$ si dice regolare in un punto $t_{0}\$ se:

\phi '(t_{0})=(\phi '_{1}(t_{0}),\phi '_{2}(t_{0}),\phi '_{3}(t_{0}))\neq (0,0,0)

e regolare in $I\$ se ciò vale in ogni punto di $I\$ . Un punto in cui si abbia $\phi '(t_{0})=(0,0,0)$ si dice punto singolare per la curva.

Una curva nello spazio si dice semplice se non si interseca con se stessa, ovvero se per ogni $t_{1}\neq t_{2}\in I$ si ha $\phi (t_{1})\neq \phi (t_{2})$ . La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva, che è la retta parallela al vettore:

\phi '(t_{0})=(\phi '_{1}(t_{0}),\phi '_{2}(t_{0}),\phi '_{3}(t_{0}))

Tale vettore è detto vettore tangente di lunghezza $\lVert \phi '(t_{0})\rVert$ , ed è indicato pure con ${\vec {T}}(t_{0})$ . Il versore tangente è inoltre il vettore di lunghezza unitaria:

{\hat {T}}(t_{0})={\frac {\phi '(t_{0})}{\lVert \phi '(t_{0})\rVert }}

Data la rappresentazione parametrica della curva regolare, è possibile anche calcolarne la lunghezza:

{\mbox{lungh}}(\phi )=\int _{a}^{b}\lVert \phi '(t)\rVert \;\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {\phi '_{1}(t)^{2}+\phi '_{2}(t)^{2}+\phi '_{3}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t

Il calcolo dell'integrale

Se si ha una funzione $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ di tre variabili e una curva $\Gamma \$ definita in $A$ con rappresentazione parametrica $\phi :[a,b]\to \mathbb {R} ^{3}$ :

\phi (t)={\begin{cases}x=\phi _{1}(t)\\y=\phi _{2}(t)\\z=\phi _{3}(t)\end{cases}}

con $t\in [a,b]\subseteq \mathbb {R}$ , si definisce nel modo seguente l'integrale della funzione lungo la curva. Si consideri una partizione qualsiasi $a=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=b$ , a cui si associano i punti $P_{0}=\phi (t_{0}),P_{1}=\phi (t_{1}),\dots ,P_{n}=\phi (t_{n})$ . Tali punti dividono la curva in tanti archi $\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{n}$ . In corrispondenza di ognuno di tali archi si sceglie un generico punto appartenente all'arco i-esimo $Q_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ e si costruiscono le somme integrali:

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i},z_{i}){\mbox{lungh}}(\gamma _{i})

dove la ${\mbox{lungh}}(\gamma _{i})\$ è la lunghezza definita precedentemente. Se esiste il limite per $\max _{i}(t_{i}-t_{i-1})\to 0$ delle somme integrali, cioè per ogni intervallo $(t_{i}-t_{i-1})$ che diventa infinitesimo (ovvero, equivalentemente, per $n\to \infty$ ), allora il valore di tale limite si chiama integrale curvilineo di prima specie della funzione $f(x,y,z)$ lungo la curva $\Gamma$ e lo si indica solitamente con:

\int _{\Gamma }f(x,y,z)\,\mathrm {d} s

Se la curva è regolare allora $\mathrm {d} s\$ è l'elemento infinitesimo di lunghezza come nella definizione di lunghezza della curva, e si può esplicitare l'integrale:

\int _{\Gamma }f(x,y,z)\,\mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(\phi (t))\lVert \phi '(t)\rVert \,\mathrm {d} t

dove $f(\phi (t))=f(\phi _{1}(t),\phi _{2}(t),\phi _{3}(t))$ significa esprimere la funzione in termini della parametrizzazione data in precedenza.

Nel caso in cui la curva è piana la funzione non dipende dalla variabile $z$ e allora la precedente relazione si trasforma:

\int _{\Gamma }f(x,y)\,\mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(\phi _{1}(t),\phi _{2}(t))\lVert \phi '(t)\rVert \,\mathrm {d} t

L'integrale di linea così descritto è indipendente dalla rappresentazione parametrica (e non dipende dalla scelta dei punti $(x_{i},y_{i},z_{i})\$ né dalla partizione scelta per il calcolo del limite delle somme integrali). A differenza degli integrali di seconda specie (che riguardano i campi vettoriali) questo tipo di integrale non dipende nemmeno dall'orientazione della curva. Banalmente, se la funzione $f=1$ il calcolo di questo integrale curvilineo si riconduce al calcolo della lunghezza della curva.

Proprietà dell'integrale di prima specie

Valgono le proprietà tipiche degli integrali: linearità, additività e monotonia.

Si ha inoltre:

\left|\int _{\Gamma }f\,\mathrm {d} s\right|\leq \int _{\Gamma }\left|f\right|\,\mathrm {d} s\leq \max _{\Gamma }\left|f\right|\cdot {\mbox{lungh}}(\Gamma )

Applicazioni geometriche e fisiche

Una proprietà usata in fisica e in geometria è il calcolo del baricentro di una curva (che può essere materiale): esso è definito dal calcolo dalle coordinate: