Lemma della farfalla

Il lemma della farfalla è un risultato utilizzato nell'algebra.

Siano $U$ e $V$ due sottogruppi di un gruppo $G$, siano $H$ e $K$ sottogruppi normali di $U$ e $V$ rispettivamente, allora:

1. $H(U\cap K)$ è normale in $H(U\cap V)$
2. $(H\cap V)K$ è normale in $(U\cap V)K$

I gruppi quozienti inoltre risultano isomorfi:

$H(U\cap V)/H(U\cap K)\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K$

Dimostrazione

Una possibile dimostrazione del Lemma è:

Si verifica che $H(U\cap K)$ è normale in $H(U\cap V)$.

Si può osservare che $U\cap K$ è normale in $U\cap V$, infatti $\forall k\in U\cap K$ e $\forall v\in U\cap V$ si ha:

${\begin{cases}vkv^{-1}\in K,&{\text{perché}}\ K\ {\text{è normale in}}\ V,\\vkv^{-1}\in U,&{\text{perché}}\ k,v\in U.\end{cases}}\implies vkv^{-1}\in U\cap K$.

Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che $H(U\cap K)$ ė normale in $H(U\cap V)$.

Si verifica che $(H\cap V)K$ è normale in $(U\cap V)K$.

Si può osservare che $H\cap V$ è normale in $U\cap V$. Infatti, $\forall k\in H\cap V$ e $\forall v\in U\cap V$, si ha:

${\begin{cases}vkv^{-1}\in U,&{\text{perché}}\ H\ {\text{è normale in}}\ U,\\vkv^{-1}\in V,&{\text{perché}}\ k,v\in V.\end{cases}}\implies vkv^{-1}\in H\cap V.$

Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che $(H\cap V)K$ è normale in $(U\cap V)K$.

La combinazione di gruppi e gruppi quoziente diventa chiara quando la visualizziamo nel diagramma di sottogruppi che dà il nome al Lemma:

Nel diagramma sono dati $H,K,U,V,$ tutti gli altri punti del diagramma corrispondono a certi gruppi che si possono determinare nel modo seguente:

• L'intersezione di due segmenti che vanno verso il basso corrispondono all'intersezione di gruppi;

• L'intersezione di due linee che vanno verso l'alto corrisponde al prodotto.

Consideriamo i due parallelogrammi che formano le ali della farfalla, otteniamo l'isomorfismo dei gruppi quoziente come segue:

$(H(U\cap V))/(H(U\cap K))(U\cap V)/((H\cap V)(U\cap K))\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K$

Infatti il lato in comune ai due parallelogrammi ha come punto iniziale $U\cap V$,

e come punto finale $(H\cap V)(U\cap K)$. Si ha l'isomorfismo:

$(H(U\cap V))/(H(U\cap K))\cong (U\cap V)/((H\cap V)(U\cap K))$

Applicando il teorema di isomorfismo:

$G/((G\cap N))\cong GN/N$,

Con $G=U\cap V$ e $N=H(U\cap K)$.

Questo dà l'isomorfismo di sinistra.

L'isomorfismo di destra si ottiene per simmetria.

Da cui $(H(U\cap V))/(H(U\cap K))\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K$.

Q.E.D.

Bibliografia

• J. Lambek Pierce, The Butterfly and the Serpent, 1996, p. 27, exercise 1
• Aldo Ursini, Paulo Agliano, Logic and Algebra, CRC Press, pp. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
• Carl Clifton Faith, Nguyen Viet Dung, Barbara Osofsky, Rings, Modules and Representations, AMS Bookstore, 2009, p. 6 ISBN 0-8218-4370-2
• Hans Zassenhaus, Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 1934
• Hans Zassenhaus, Theory of Groups, second English edition, Lemma on Four Elements, Chelsea Publishing, 1958, p. 74

Voci correlate

Algebra lineare