Lemma di Dynkin

Il lemma di Dynkin, altresì detto teorema delle classi monotone, è un enunciato importante in teoria della misura che ha, tra le varie conseguenze, il teorema di unicità delle probabilità. Deve il suo nome al matematico russo Evgenij Borisovič Dynkin.

Definizioni preliminari

Un $\pi$-sistema è una famiglia di parti ${\mathcal {I}}$ di un insieme $\Omega$ con le seguenti caratteristiche:

• ${\mathcal {I}}\neq \varnothing ;$
• $A,B\in {\mathcal {I}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {I}}.$

Una classe monotona (detta anche $\lambda$-sistema) è una famiglia di parti ${\mathcal {M}}$ di un insieme $\Omega$ con le seguenti caratteristiche:

• $\Omega \in {\mathcal {M}};$
• $A,B\in {\mathcal {M}},A\subset B\Rightarrow B\setminus A\in {\mathcal {M}};$
• $\{A_{n}\}\in {\mathcal {M}}$, $A_{n}\subset A_{n+1}\Rightarrow \bigcup _{n=1}^{\infty }{A_{n}}\in {\mathcal {M}}.$

Si definisce $\sigma$-algebra generata da una famiglia di parti ${\mathcal {F}}$, in notazione $\sigma ({\mathcal {F}})$ la più piccola $\sigma$-algebra contenente ${\mathcal {F}}$; analogamente e con la notazione $\lambda ({\mathcal {F}})$ è definita la classe monotona generata da ${\mathcal {F}}$.

Enunciato del lemma e dimostrazione

Se ${\mathcal {I}}$ è un $\pi$-sistema contenente $\Omega$, allora si ha l'uguaglianza $\lambda ({\mathcal {I}})=\sigma ({\mathcal {I}})$.

Infatti, se ${\mathcal {I}}$ contiene $\Omega$ allora è evidente che $\lambda ({\mathcal {I}})$ è chiusa per passaggio al complementare, perché $A^{c}=\Omega \setminus A$ e una classe monotona è chiusa rispetto alla differenza insiemistica. Abbiamo dimostrato la prima delle due caratteristiche fondamentali di una $\sigma$-algebra.

Se una classe di insiemi è chiusa per passaggio al complementare e per intersezioni finite, applicando le leggi di De Morgan, essa è chiusa per unioni finite. Se inoltre una famiglia di insiemi è chiusa per unioni finite e per unioni numerabili crescenti (terza proprietà di classe monotona nell'elenco), allora questa sarà chiusa per tutte le unioni numerabili (altra proprietà fondante delle $\sigma$-algebre).

Non resta che dimostrare la chiusura di $\lambda ({\mathcal {I}})$. La suddetta dimostrazione si articola in due parti:

• $A\in {\mathcal {I}},B\in \lambda ({\mathcal {I}})\Rightarrow A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}});$
• $A\in \lambda ({\mathcal {I}}),B\in \lambda ({\mathcal {I}})\Rightarrow A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}).$

Non si tratta che di effettuare banali verifiche delle proprietà di $\lambda$-sistema sulle seguenti classi di insiemi:

• ${\mathcal {M}}:=\{B\in \lambda ({\mathcal {I}})|A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}),A\in {\mathcal {I}}\};$
• ${\mathcal {M}}':=\{B\in \lambda ({\mathcal {I}})|A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}),A\in \lambda ({\mathcal {I}})\}.$

Bibliografia

• Jean Jacod e Philip E. Protter, Probability Essentials, Berlino, Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-43871-8.

Voci correlate

• Misura (matematica)
• Sigma-algebra