Non-disgiunzione inclusiva

La negazione NOR (o negazione congiunta) è un operatore vero-funzionale che rappresenta la negazione di un OR logico. In altre parole, una proposizione della forma $p\ NOR\ q$ è vera quando né $p$ né $q$ sono vere, cioè quando sia $p$ sia $q$ sono false. Ciò è logicamente equivalente ad affermare che $p\ NOR\ q$ = $\neg (p\lor q)$ = $\neg p\land \neg q$ , dove il simbolo $\neg$ indica la negazione logica (NOT), $\lor$ indica la disgiunzione logica (OR) e $\land$ la congiunzione logica (AND). Nella grammatica, "né...né" sono una coppia di congiunzioni che ben rappresentano, nel linguaggio, la negazione NOR.

L'operazione NOR è anche nota come freccia di Peirce. Nei suoi manoscritti inediti, Peirce la considerò inizialmente come un'operazione logica e dimostrò che può esprimere NOT, AND e OR logici. Edward Stamm^[1], Henry Sheffer^[2] e Jean Nicod^[3] furono i primi a discuterne all'interno di un'edizione a stampa. Quine introdusse il simbolo $\downarrow$ .^[4] Altri modi di indicare l'operatore NOR sono: l'ampheck ^{[N 1]} usato da Peirce, e né-né. Altri modi di denotare $P\downarrow Q$ includono P NOR Q e, nella notazione di Bocheński, "Xpq".

L'Apollo Guidance Computer fu interamente costruito con porte NOR a tre ingressi.^[5]

Definizione

L'operazione NOR è un'operazione logica su due valori, tipicamente i valori di verità di due proposizioni, che genera il valore vero se e solo se i due operandi sono entrambi falsi. Detta altrimenti, essa genera un valore falso se e solo se almeno uno degli operandi è vero.

Tavola di verità

L'operatore P NOR Q o $P\downarrow Q$ presenta la seguente tavola di verità:

$P$	$Q$	$P\downarrow Q$
Vero	Vero	Falso
Vero	Falso	Falso
Falso	Vero	Falso
Falso	Falso	Vero

Equivalenze logiche

L'operatore logico NOR $\downarrow$ è la negazione della disgiunzione:

P\downarrow Q

\Leftrightarrow

\neg (P\lor Q)

Proprietà

Il NOR logico è un'operazione funzionalmente completa poiché rispetta le cinque proprietà di:

conservazione del valore di vero e di falso,
linearità,
monotonia,
auto-dualità.

Come per il suo duale NAND^{[N 2]}, l'operazione NOR può essere usata da sola per costituire un sistema formale.

Altre operazioni booleane

Il NOR e il NAND permettono di esprimere le altre operazioni booleane.

Espressi in termini di NOR $\downarrow$ gli operatori noti della logica proposizionale diventano:

$\neg P$	$\Leftrightarrow$	$P\downarrow P$
$\neg$	$\Leftrightarrow$

$P\rightarrow Q$	$\Leftrightarrow$	${\Big (}(P\downarrow P)\downarrow Q{\Big )}$	$\downarrow$	${\Big (}(P\downarrow P)\downarrow Q{\Big )}$
	$\Leftrightarrow$		$\downarrow$

$P\land Q$	$\Leftrightarrow$	$(P\downarrow P)$	$\downarrow$	$(Q\downarrow Q)$
	$\Leftrightarrow$		$\downarrow$

$P\lor Q$	$\Leftrightarrow$	$(P\downarrow Q)$	$\downarrow$	$(P\downarrow Q)$
	$\Leftrightarrow$		$\downarrow$

Note

^ Edward Stamm, Beitrag zur Algebra der Logik, in Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 22, n. 1, 1911, pp. 137–149, DOI:10.1007/BF01742795.
^ Henry Maurice Sheffer, A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants, in Transactions of the American Mathematical Society, vol. 14, n. 4, 1913, pp. 481–488, DOI:10.1090/S0002-9947-1913-1500960-1.
^ Jean G. P. Nicod, A reduction in the number of the primitive propositions of logic, in Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Mathematical and Physical Sciences, vol. 19, 1917, pp. 32–41.
^ Willard Van Orman Quine, Mathematical logic, 1ª ed., New York, W. W. Norton & Co., 1940.
^ Eldon C. Hall, Journey to the Moon: The History of the Apollo Guidance Computer, Reston, Virginia, USA, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1996, p. 196, ISBN 1-56347-185-X.

Annotazioni

^ Dal greco antico ἀμφήκης , amphēkēs, "tagliare in entrambe le direzioni".
^ noto anche come operatore di Sheffer e simboleggiato da $\uparrow$ , $\mid$ o $/$ .

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

NOR, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
NOR, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
NOR, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
NOR, su sapere.it, De Agostini.
Nor, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Eric W. Weisstein, NOR, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Denis Howe, NOR, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL

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[Stamm1911-1] Edward Stamm, Beitrag zur Algebra der Logik, in Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 22, n. 1, 1911, pp. 137–149, DOI:10.1007/BF01742795.

[Sheffer-2] Henry Maurice Sheffer, A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants, in Transactions of the American Mathematical Society, vol. 14, n. 4, 1913, pp. 481–488, DOI:10.1090/S0002-9947-1913-1500960-1.

[Nicod1917-3] Jean G. P. Nicod, A reduction in the number of the primitive propositions of logic, in Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Mathematical and Physical Sciences, vol. 19, 1917, pp. 32–41.

[Quine1940-4] Willard Van Orman Quine, Mathematical logic, 1ª ed., New York, W. W. Norton & Co., 1940.

[Hall-1996-6] Eldon C. Hall, Journey to the Moon: The History of the Apollo Guidance Computer, Reston, Virginia, USA, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1996, p. 196, ISBN 1-56347-185-X.

[5] Dal greco antico ἀμφήκης , amphēkēs, "tagliare in entrambe le direzioni".

[7] to anche come operatore di Sheffer e simboleggiato da $\uparrow$ , $\mid$ o $/$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[N 1]

[5]

[N 2]

V · D · M Connettivi logici
Tautologia ( $\top$ )
Non-congiunzione ( $\uparrow$ ) · Implicazione inversa ( $\leftarrow$ ) · Implicazione ( $\rightarrow$ ) · Disgiunzione inclusiva ( $\lor$ )
Negazione ( $\neg$ ) · Disgiunzione esclusiva ( ${\dot {\lor }}$ ) · Doppia implicazione ( $\leftrightarrow$ ) · Proposizione
Non-disgiunzione inclusiva ( $\downarrow$ ) · Non-implicazione ( $\nrightarrow$ ) · Non-implicazione inversa ( $\nleftarrow$ ) · Congiunzione ( $\land$ )
Contraddizione ( $\bot$ )