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2016年5月15日 (日) 13:43時点における最新版

数学、とくに群論において、群 $G$ の部分集合 $S$ の中心化群 (英: centralizer) とは、 $S$ の各元と可換な $G$ の元全体からなる集合であり、 $S$ の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」 $S$ と可換な $G$ の元全体からなる集合である。 $S$ の中心化群と正規化群は $G$ の部分群であり、 $G$ の構造について知る手掛かりを得られる。

定義

群 $G$ の部分集合 $S$ の中心化群 (centralizer) は次で定義される^[1]。

\mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs{\text{ for all }}s\in S\}

文脈から群 $G$ が明らかなときには、表記 $C G (S)$ から $G$ を省くことがある。また $S$ が単集合 ${a$ } のときには中心化群 $C G ({a})$ は $C G (a)$ と略記される。この中心化群の別の表記として $Z(a)$ もあるが、これはあまり一般的でなく、群の中心の表記と同じになってしまう。この表記では、群 $G$ の中心 $Z(G)$ と元 $g \in G$ の中心化群 $Z(g)$ とを混同しないよう注意しなければならない。

群 $G$ における $S$ の正規化群 (normalizer) は次で定義される。

\mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}

中心化群の定義と似ているが同じではない。 $g$ が $S$ の中心化群の元で $s$ が $S$ の元であれば、 $gs = sg$ でなければならないが、 $g$ が正規化群の元であれば、 $s$ とは異なってもよい $t \in S$ に対して $gs = tg$ である。中心化群のときに述べた、 $G$ を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。 $S$ の正規化群を $S$ の正規包（英語版） (normal closure) すなわち、 $S$ の生成する正規部分群 $⟨⟨ S ⟩⟩$ と混同してはならない。

性質

下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1−3 による。

$S$ の中心化群と正規化群はともに $G$ の部分群である。
明らかに、 $C G (S) \subseteq N G (S)$ である。実は、 $C G (S)$ は必ず $N G (S)$ の正規部分群である。
$C G (C G (S))$ は $S$ を含むが、 $C G (S)$ は $S$ を含むとは限らない。 $S$ のすべての元 $s, t$ に対して $st = ts$ であれば含む。なのでもちろん $H$ が $G$ の可換な部分群であれば $C G (H)$ は $H$ を含む。
$S$ が $G$ の部分半群であれば、 $N G (S)$ は $S$ を含む。
$H$ が $G$ の部分群であれば、 $H$ を正規部分群として含むような最大の $G$ の部分群が $N G (H)$ である。
元 $a \in G$ の属する共役類の大きさと中心化群の指数 $[G : C G (a)]$ は等しい。
群 $G$ の部分群 $H$ と共役な部分群の数と正規化群の指数 $[G : N G (H)]$ は等しい。
$G$ の部分群 $H$ は、 $N G (H) = H$ であるときに、 $G$ の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。
$G$ の中心はちょうど $C G (G)$ であり、 $G$ がアーベル群であることと $C G (G) = Z(G) = G$ は同値である。
単集合に対して、 $C G (a) = N G (a)$ である。
対称性により、 $S$ と $T$ が $G$ の 2 つの部分集合であれば、 $T \subseteq C G (S)$ と $S \subseteq C G (T)$ は同値である。
群 $G$ の部分群 $H$ に対して、N/C定理 (N/C theorem) は、剰余群 $N G (H)/C G (H)$ は $H$ の自己同型群 $Aut(H)$ の部分群に同型であるという定理である。 $N G (G) = G$ および $C G (G) = Z(G)$ であるから、N/C theorem は、 $G /Z(G)$ は、G のすべての内部自己同型からなる、 $Aut(G)$ の部分群 $Inn(G)$ に同型であるということも意味している。
群準同型 $T : G \to Inn(G)$ を $T (x)(g) = T x (g) = xgx -1$ によって定義すれば、 $N G (S)$ と $C G (S)$ を $Inn(G)$ の $G$ への群作用の言葉によって記述できる： $S$ の $Inn(G)$ における安定化群は $T (N G (S))$ であり、 $S$ を固定する $Inn(G)$ の部分群は $T (C G (S))$ である。

脚注

^ Jacobson (2009), p. 41

参考文献

Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: A Graduate Course, Graduate Studies in Mathematics, 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR2472787
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, I (second ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

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-数学、とくに[[群論]]において、[[群 (数学)|群]] ''G'' の[[部分集合]] ''S'' の'''中心化群''' ({{lang-en-short|centralizer}}) とは、''S'' の各元と[[可換性|可換な]] ''G'' の元全体からなる集合であり、''S'' の'''正規化群''' (normalizer) とは、「全体で」''S'' と可換な ''G'' の元全体からなる集合である。''S'' の中心化群と正規化群は ''G'' の[[部分群]]であり、''G'' の構造について知る手掛かりを得られる。
+数学、とくに[[群論]]において、[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} の[[部分集合]] {{mvar|S}} の'''中心化群''' ({{lang-en-short|centralizer}}) とは、{{mvar|S}} の各元と[[可換性|可換な]] {{mvar|G}} の元全体からなる集合であり、{{mvar|S}} の'''正規化群''' (normalizer) とは、「全体で」{{mvar|S}} と可換な {{mvar|G}} の元全体からなる集合である。{{mvar|S}} の中心化群と正規化群は {{mvar|G}} の[[部分群]]であり、{{mvar|G}} の構造について知る手掛かりを得られる。
 ==定義==
-群 ''G'' の部分集合 ''S'' の'''中心化群''' (centralizer) は次で定義される<ref>Jacobson (2009), p. 41</ref>。
+群 {{mvar|G}} の部分集合 {{mvar|S}} の'''中心化群''' (centralizer) は次で定義される<ref>Jacobson (2009), p. 41</ref>。
 :<math>\mathrm{C}_G(S)=\{g\in G\mid sg=gs \text{ for all } s\in S\}</math>
-文脈から群 ''G'' が明らかなときには、表記 C<sub>''G''</sub>(''S'') から ''G'' を省くことがある。また ''S'' が[[単集合]] {''a''} のときには中心化群 C<sub>''G''</sub>({''a''}) は C<sub>''G''</sub>(''a'') と略記される。この中心化群の別の表記として Z(''a'') もあるが、これはあまり一般的でなく、[[群の中心]]の表記と同じになってしまう。この表記では、群 ''G'' の中心 Z(''G'') と元 {{math|''g'' &isin; ''G''}} の''中心化群'' Z(''g'') とを混同しないよう注意しなければならない。
+文脈から群 {{mvar|G}} が明らかなときには、表記 {{math|C<sub>''G''</sub>(''S'')}} から {{mvar|G}} を省くことがある。また {{mvar|S}} が[[単集合]] {{math|{''a''}}} のときには中心化群 {{math|C<sub>''G''</sub>({''a''})}} は {{math|C<sub>''G''</sub>(''a'')}} と略記される。この中心化群の別の表記として {{math|Z(''a'')}} もあるが、これはあまり一般的でなく、[[群の中心]]の表記と同じになってしまう。この表記では、群 {{mvar|G}} の中心 {{math|Z(''G'')}} と元 {{math|''g'' &isin; ''G''}} の''中心化群'' {{math|Z(''g'')}} とを混同しないよう注意しなければならない。
-群 ''G'' における ''S'' の'''正規化群''' (normalizer) は次で定義される。
+群 {{mvar|G}} における {{mvar|S}} の'''正規化群''' (normalizer) は次で定義される。
 :<math>\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}</math>
-中心化群の定義と似ているが同じではない。''g'' が ''S'' の中心化群の元で ''s'' が ''S'' の元であれば、{{math|1=''gs'' = ''sg''}} でなければならないが、''g'' が正規化群の元であれば、''s'' とは異なってもよい {{math|''t'' &isin; ''S''}} に対して {{math|1=''gs'' = ''tg''}} である。中心化群のときに述べた、''G'' を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。正規化群を{{仮リンク|共役包|label=正規包|en|conjugate closure}} (normal closure) と混同してはならない。
+中心化群の定義と似ているが同じではない。{{mvar|g}} が {{mvar|S}} の中心化群の元で {{mvar|s}} が {{mvar|S}} の元であれば、{{math|''gs'' {{=}} ''sg''}} でなければならないが、{{mvar|g}} が正規化群の元であれば、{{mvar|s}} とは異なってもよい {{math|''t'' &isin; ''S''}} に対して {{math|''gs'' {{=}} ''tg''}} である。中心化群のときに述べた、{{mvar|G}} を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。{{mvar|S}} の正規化群を {{mvar|S}} の{{仮リンク|共役包|label=正規包|en|conjugate closure}} (normal closure) すなわち、{{mvar|S}} の生成する正規部分群 {{math|&lang;&lang;''S''&rang;&rang;}} と混同してはならない。
 ==性質==
-情報源: {{sfn|Isaacs|2009|loc=Chapters 1−3}}
+下記の性質は {{harvnb|Isaacs|2009|loc=Chapters 1−3}} による。
-* ''S'' の中心化群と正規化群はともに ''G'' の部分群である。
+* {{mvar|S}} の中心化群と正規化群はともに {{mvar|G}} の部分群である。
-* 明らかに、'''C'''<sub>''G''</sub>(S) &sube; '''N'''<sub>''G''</sub>(S) である。実は、'''C'''<sub>''G''</sub>(''S'') は必ず '''N'''<sub>''G''</sub>(''S'') の正規部分群である。
-* '''C'''<sub>''G''</sub>('''C'''<sub>''G''</sub>(''S'')) は ''S'' を含むが、'''C'''<sub>''G''</sub>(S) は ''S'' を含むとは限らない。''S'' のすべての元 ''s'', ''t'' に対して {{math|''st'' {{=}} ''ts''}} であれば含む。なのでもちろん ''H'' が ''G'' の可換な部分群であれば '''C'''<sub>''G''</sub>(H) は ''H'' を含む。
+* 明らかに、{{math|C<sub>''G''</sub>(''S'') &sube; N<sub>''G''</sub>(''S'')}} である。実は、{{math|C<sub>''G''</sub>(''S'')}} は必ず {{math|N<sub>''G''</sub>(''S'')}} の正規部分群である。
+* {{math|C<sub>''G''</sub>(C<sub>''G''</sub>(''S''))}} は {{mvar|S}} を含むが、{{math|C<sub>''G''</sub>(''S'')}} は {{mvar|S}} を含むとは限らない。{{mvar|S}} のすべての元 {{math|''s'', ''t''}} に対して {{math|''st'' {{=}} ''ts''}} であれば含む。なのでもちろん {{mvar|H}} が {{mvar|G}} の可換な部分群であれば {{math|C<sub>''G''</sub>(''H'')}} は {{mvar|H}} を含む。
-* ''S'' が ''G'' の部分[[半群]]であれば、'''N'''<sub>''G''</sub>(''S'') は ''S'' を含む。
-* ''H'' が ''G'' の部分群であれば、''H'' を正規部分群として含むような最大の ''G'' の部分群が '''N'''<sub>''G''</sub>(''H'') である。
+* {{mvar|S}} が {{mvar|G}} の部分[[半群]]であれば、{{math|N<sub>''G''</sub>(''S'')}} は {{mvar|S}} を含む。
-* 元 ''a'' &isin; ''G'' の属する[[共役類]]の大きさと中心化群の指数 [''G'' : C<sub>''G''</sub>(''a'')] は等しい。
+* {{mvar|H}} が {{mvar|G}} の部分群であれば、{{mvar|H}} を[[正規部分群]]として含むような最大の {{mvar|G}} の部分群が {{math|N<sub>''G''</sub>(''H'')}} である。
+* 元 {{math|''a'' &isin; ''G''}} の属する[[共役類]]の大きさと中心化群の指数 {{math|[''G'' : C<sub>''G''</sub>(''a'')]}} は等しい。
-* ''G'' の部分群 ''H'' は、'''N'''<sub>''G''</sub>(''H'') = ''H'' であるときに、''G'' の '''self-normalizing subgroup''' と呼ばれる。
+* 群 {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} と共役な部分群の数と正規化群の指数 {{math|[''G'' : N<sub>''G''</sub>(''H'')]}} は等しい。
-* ''G'' の中心はちょうど '''C'''<sub>''G''</sub>(G) であり、''G'' が[[アーベル群]]であることと '''C'''<sub>''G''</sub>(''G'')&nbsp;=&nbsp;Z(''G'')&nbsp;=&nbsp;''G'' は同値である。
+* {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} は、{{math|N<sub>''G''</sub>(''H'') {{=}} ''H''}} であるときに、{{mvar|G}} の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。
-* 一元集合に対して、'''C'''<sub>''G''</sub>(''a'')&nbsp;=&nbsp;'''N'''<sub>''G''</sub>(''a'') である。
-* 対称性により、''S'' と ''T'' が ''G'' の 2 つの部分集合であれば、''T''&nbsp;⊆&nbsp;'''C'''<sub>''G''</sub>(''S'') と ''S''&nbsp;⊆&nbsp;'''C'''<sub>''G''</sub>(''T'') は同値である。
+* {{mvar|G}} の中心はちょうど {{math|C<sub>''G''</sub>(G)}} であり、{{mvar|G}} が[[アーベル群]]であることと {{math|1=C<sub>''G''</sub>(''G'') = Z(''G'') = ''G''}} は同値である。
+* [[単集合]]に対して、{{math|C<sub>''G''</sub>(''a'') {{=}} N<sub>''G''</sub>(''a'')}} である。
-* 群 ''G'' の部分群 ''H'' に対して、'''N/C theorem''' は、[[剰余群]] '''N'''<sub>''G''</sub>(''H'')/'''C'''<sub>''G''</sub>(''H'') は ''H'' の[[自己同型群]] Aut(''H'') の部分群に[[群同型|同型]]であるという定理である。'''N'''<sub>''G''</sub>(''G'')&nbsp;=&nbsp;''G'' および '''C'''<sub>''G''</sub>(''G'')&nbsp;=&nbsp;Z(''G'') であるから、N/C theorem は、''G''/Z(''G'') は、''G'' のすべての{{仮リンク|内部自己同型|en|inner automorphism}}からなる、Aut(''G'') の部分群 Inn(''G'') に同型であるということも意味している。
+* 対称性により、{{mvar|S}} と {{mvar|T}} が {{mvar|G}} の 2 つの部分集合であれば、{{math|''T'' ⊆ C<sub>''G''</sub>(''S'')}} と {{math|''S'' ⊆ C<sub>''G''</sub>(''T'')}} は同値である。
-* [[群準同型]] ''T'':&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;Inn(''G'') を ''T''(''x'')(''g'')&nbsp;=&nbsp;''T''<sub>''x''</sub>(''g'')&nbsp;=&nbsp;''xgx''<sup>&nbsp;&minus;1</sup> によって定義すれば、'''N'''<sub>''G''</sub>(''S'') と '''C'''<sub>''G''</sub>(''S'') を Inn(''G'') の ''G'' への[[群作用]]のことばによって記述できる： ''S'' の Inn(''G'') における安定化群は ''T''('''N'''<sub>''G''</sub>(''S'')) であり、''S'' を固定する Inn(''G'') の部分群は ''T''('''C'''<sub>''G''</sub>(''S'')) である。
+* 群 {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} に対して、'''N/C定理''' (''N/C theorem'') は、[[剰余群]] {{math|N<sub>''G''</sub>(''H'')/C<sub>''G''</sub>(''H'')}} は {{mvar|H}} の[[自己同型群]] {{math|Aut(''H'')}} の部分群に[[群同型|同型]]であるという定理である。{{math|N<sub>''G''</sub>(''G'') {{=}} ''G''}} および {{math|C<sub>''G''</sub>(''G'') {{=}} Z(''G'')}} であるから、N/C theorem は、{{math|''G''/Z(''G'')}} は、''G'' のすべての[[内部自己同型]]からなる、{{math|Aut(''G'')}} の部分群 {{math|Inn(''G'')}} に同型であるということも意味している。
+* [[群準同型]] {{math|''T'': ''G'' → Inn(''G'')}} を {{math|''T''(''x'')(''g'') {{=}} ''T''<sub>''x''</sub>(''g'') {{=}} ''xgx''<sup> &minus;1</sup>}} によって定義すれば、{{math|N<sub>''G''</sub>(''S'')}} と {{math|C<sub>''G''</sub>(''S'')}} を {{math|Inn(''G'')}} の {{mvar|G}} への[[群作用]]の言葉によって記述できる： {{mvar|S}} の {{math|Inn(''G'')}} における安定化群は {{math|''T''(N<sub>''G''</sub>(''S''))}} であり、{{mvar|S}} を固定する {{math|Inn(''G'')}} の部分群は {{math|''T''(C<sub>''G''</sub>(''S''))}} である。
 ==脚注==
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 ==参考文献==
-*{{citation |last=Isaacs |first=I. Martin |authorlink=イサイ・シューア |title=Algebra: A Graduate Course |url={{google books|5tKq0kbHuc4C|Algebra: A Graduate Course|page=41|plainurl=yes}} |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=100 |edition=reprint of the 1994 original |publisher=American Mathematical Society |place=Providence, RI |year=2009 |pages=xii+516 |isbn=978-0-8218-4799-2 |mr=2472787}}
+*{{citation |last=Isaacs |first=I. Martin |title=Algebra: A Graduate Course |url={{google books|5tKq0kbHuc4C|Algebra: A Graduate Course|page=41|plainurl=yes}} |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=100 |edition=reprint of the 1994 original |publisher=American Mathematical Society |place=Providence, RI |year=2009 |pages=xii+516 |isbn=978-0-8218-4799-2 |mr=2472787}}
 *{{citation |last=Jacobson |first=Nathan |year=2009 |title=Basic Algebra |url={{google books|JHFpv0tKiBAC|Basic Algebra|plainurl=yes}} |edition=second |volume=I |publisher=Dover |isbn=978-0-486-47189-1}}

2016年5月15日 (日) 13:43時点における最新版

定義

性質

脚注

参考文献

関連項目