Centralizator i normalizator

Centralizator (centrum), normalizator – specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Centralizator

Niech $x\in G.$ Centralizatorem elementu $x$ nazywamy podgrupę

$C_{G}(x)=\{g\in G:gx=xg\}.$

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru $G,$ niekoniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru $H\subset G$ nazywamy grupę

$C(H)=\{g\in G:\forall _{h\in H}\;gh=hg\}.$

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru $H.$

Centrum

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

$Z(G)=C_{G}(G).$

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy $G,$ mamy zatem $Z(G)=\{x\in G:\forall _{g\in G}xg=gx\}.$

O centralizatorze elementu $x$ można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie $H\leqslant G$ zawierającej $x$ w swoim centrum $Z(H).$

Indeks grupy względem centrum $(G:Z(G))$ można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elementów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia, $Z(R).$

Twierdzenie Schura

Jeśli $(G:Z(G))<\infty ,$ to $|[G,G]|<\infty .$

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w.

Normalizator

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru $H\subset G.$

Normalizatorem $H$ w $G$ jest podgrupa

$N_{G}(H)=\{g\in G:gH=Hg\}\leqslant G.$

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli $H\leqslant G,$ to $N_{G}(H)$ jest największą podgrupą $G$ mającą $H$ jako swoją podgrupę normalną.

Działanie grupy na zbiorze

Niech $H\leqslant G$ będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy $\varphi :G\to \Sigma _{G/H}$ grupy $G$ na zbiorze warstw $G/H$ zadane wzorem $\varphi _{g}(aH)=gaH.$ Wówczas $\ker \varphi =\bigcap _{g\in G}\;gHg^{-1}\leqslant H$ jest podgrupą normalną $G.$ Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w $H.$

Jeśli $H\triangleleft G,$ to $H=\ker \varphi$

Oznaczenia

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie $G$ mamy więc $C(H)\equiv C_{G}(H)$ oraz $N(H)\equiv N_{G}(H)$ dla dowolnego zbioru $H\subset G.$

Własności

Niech $G,G_{1},G_{2}$ będą grupami, $H\subset G{:}$

• Niech $a,b\in G.$ $a\in C(b)\iff b\in C(a),$ co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ komutują ze sobą.
  • Jeśli $G=\{a\},$ to $N(S)=C(S)=C(a).$
• Jeśli $G$ jest abelowa, to $C(H)=G$ oraz $N(H)=G,$
  • grupa $G$ jest abelowa $\iff Z(G)=G.$
• $C(H)$ jest zawsze podgrupą normalną $N(H),$
  • $Z(G)$ jest podgrupą normalną $G.$
• $Z(G_{1}\times G_{2})=Z(G_{1})\times Z(G_{2})$
• Jeśli grupa ilorazowa $G/Z(G)$ jest cykliczna, to $G$ jest abelowa.
• Jeśli $G$ jest grupą nieabelową, to jej indeks względem $Z(G)$ jest większy od $3.$
• Jeśli $X\neq \varnothing ,$ to $Z(G^{X})=(Z(G))^{X}.$

Uwagi

Jeżeli $H\leqslant G,$ wtedy grupa ilorazowa $N(H)/C(H)$ jest izomorficzna z podgrupą $\operatorname {Aut} (H),$ grupą automorfizmów $H.$

Jeżeli $N_{G}(G)=G,$ to $G/Z(G)$ jest izomorficzna z $\operatorname {Inn} (G),$ podgrupą $\operatorname {Aut} (G)$ zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy $G.$

Jeżeli $H\subset G,$ to homomorfizm $\varphi \colon G\to \operatorname {Inn} (G)$ taki, że $\varphi (x)(g)=\varphi _{x}(g)=xgx^{-1},$ pozwala na opisanie $N(H)$ oraz $C(H)$ w terminach działania grupy $\operatorname {Inn} (G)$ na grupie $G{:}$

• $\varphi (N(H))$ jest stabilizatorem $H$ w $\operatorname {Inn} (G),$
• $\varphi (C(H))\leqslant \operatorname {Inn} (G)$ jest podgrupą punktów stałych $H.$

Zobacz też

• działanie grupy na zbiorze
• grupa
• grupa ilorazowa

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.