Element neutralny
Element neutralny – element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym Element nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki[1]:
Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.
Oznaczenia
[edytuj | edytuj kod]Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.
Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera oraz oraz symbole z nimi powiązane.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- element neutralny obustronny
- Zero w grupie addytywnej ciała liczb rzeczywistych
- Jedynka w grupie multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych
- Macierz jednostkowa dla mnożenia w pierścieniu macierzy kwadratowych ustalonego wymiaru.
- Odwzorowanie tożsamościowe w grupach bijekcji (ze składaniem przekształceń).
- elementy neutralne jednostronne
- Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:
- jednocześnie
- a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.
- Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech będzie działaniem w zbiorze gdzie oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem
- Działanie może nie mieć elementu neutralnego
- w zbiorze liczb całkowitych parzystych mnożenie nie ma elementu neutralnego (ani obustronnego ani jednostronego).
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
- Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.
Zastosowania
[edytuj | edytuj kod]W definicjach większość ważnych w praktyce struktur algebraicznych takich jak grupy, pierścienie (z jedynką), czy ciała zakłada się istnienie elementów neutralnych. Istnieją jednak ich uogólnienia, jak np. grupoid, półgrupa, czy pierścień (bez aksjomatu jedynki), w których element ten nie musi istnieć.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Neutralny element działania, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Identity Element, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
Identity element (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].