Element odwrotny
Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.
Niech oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze Element nazywa się elementem odwrotnym do jeżeli spełnione są dwa warunki:
gdzie oznacza element neutralny działania
Jeżeli działanie zapisywane jest za pomocą symboli itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: itp. i oznaczamy
Elementy jednostronne
[edytuj | edytuj kod]Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. „Zwykły” element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.
Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.
W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Niech będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby jest liczba Mamy bowiem: oraz (zero jest elementem neutralnym dodawania).
- Jeżeli jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby jest liczba bo (jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).
Ostatni przykład pokazuje, że nie każdy element musi mieć element odwrotny – liczba zero nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.