Struktura matematyczna

Struktura matematyczna – pojęcie fundamentalne dla matematyki, definiowane jednak w rozmaity sposób, zależnie od teorii i kontekstu. Najczęściej mówi się o strukturze na danym zbiorze X, który zwany jest nośnikiem lub podkładem tej struktury. Rozpatruje się też struktury matematyczne w ramach teorii modeli.

Wyróżnić można następujące typy struktur matematycznych:

Struktury algebraiczne, zawierające tylko symbole funkcji i stałych (bez relacji innych niż funkcje), rozpatrywane też w ramach algebry uniwersalnej. Struktury takie zwykle rozumie się jako abstrakcyjne działania na danym zbiorze^[1]. Można to objaśnić na przykładzie struktury grupy na zbiorze G. Tutaj strukturą jest działanie grupowe $G\times G\to G,$ interpretowane jako podzbiór zbioru $(G\times G)\times G,$ spełniające aksjomaty grupy. Zbiór G jest nośnikiem tej struktury, ale sam ten zbiór nie jest grupą; grupą jest ten zbiór wraz z działaniem grupowym. Można też jako strukturę grupy na zbiorze G przyjąć uporządkowaną trójkę: dwuargumentowe działanie grupowe, jednoargumentowe działanie $G\to G$ brania elementu odwrotnego $x\to x^{-1}$ oraz element neutralny e, traktowany jako działanie zeroargumentowe, czyli jako funkcja stała $\{\emptyset \}\to G$ ze zbioru jednoelementowego $\{\emptyset \},$ przyporządkowująca jedynemu elementowi $\emptyset$ element e^[a]. Ważną klasę struktur algebraicznych stanowią te, które są zdefiniowane równościowo, tzn. za pomocą skończonej lub nieskończonej liczby aksjomatów mających postać równości, bez kwantyfikatora szczegółowego $\exists$ ^[2]. Strukturami algebraicznymi równościowo definiowalnymi są m.in.: struktura grupy (bierze się wtedy nie jedno działanie, lecz wymienione wyżej trzy, a aksjomaty zapisuje się w postaci równości), struktura grupy abelowej, struktura ciała, struktura pierścienia, struktura kraty.
Struktury porządkowe, tworzone przez relacje uporządkowania, takie jak częściowy porządek. Jeśli $(X,\leqslant )$ jest zbiorem częściowo uporządkowanym, to relacja $\leqslant$ (jako podzbiór zbioru $X\times X$ ) jest strukturą, a X jest nośnikiem tej struktury. Struktura kraty może być również uważana za strukturę porządkową $(X,\leqslant ),$ w której każda para x,y ma kres dolny inf(x,y) i kres górny sup(x,y).
Struktury topologiczne, których typowym przykładem jest przestrzeń topologiczna, tzn. zbiór X, na których strukturą jest topologia określona jako rodzina zbiorów otwartych w X. Do struktur topologicznych należy też struktura przestrzeni jednostajnej^[3].
Struktury mieszane. Są one dwojakiego rodzaju. 1) Struktury będące połączeniem co najmniej dwóch z powyższych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna, ciało uporządkowane. Istotne tu jest to, że wszystkie elementy danej struktury na zbiorze X są utworzone z elementów tego zbioru (a także z jego podzbiorów itd.) z użyciem skończonej lub nieskończonej liczby konstrukcji w języku teorii mnogości. 2) Struktury, w których występują elementy nie dające się utworzyć w taki sposób, tzn. elementy spoza uniwersum generowanego przez X. Przykładami są tu: struktura przestrzeni metrycznej na X, w której pojawia się zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb {R} ,$ struktura przestrzeni liniowej nad ciałem $\mathbb {C} ,$ struktura przestrzeni liniowo-topologicznej, struktura modułu nad pierścieniem R, struktura algebry nad ciałem K.

Rygorystyczną definicję struktury, rodzaju struktury i izomorfizmu struktur podał Bourbaki^[4]. Definicja ta jednak, zawiła i długa (łącznie kilka stron), okazała się nieprzydatna i sam Bourbaki nie korzysta z niej później w dalszej części swego dzieła^[b]. Stosując tę definicję, nie można np. w ogólny sposób rozstrzygnąć, czy dwie różne definicje dają tę samą w istocie strukturę, np. czy definicja topologii na zbiorze X jako rodziny zbiorów otwartych spełniających zwykłe aksjomaty daje w istocie tę samą strukturę co operacja domknięcia Kuratowskiego (równoważności tej dowodzi się w kursie topologii, ale nie widać, jak miałaby to wynikać z analizy samego typu definicji tych struktur).

Uwagi

↑ Rozpatruje się też działania n-arne $G^{n}\to G$ i nieskończone zbiory takich działań na G, np. zbiór wszystkich możliwych złożeń powyższych trzech działań na grupie.
↑ Poglądowe omówienie definicji Bourbakiego daje Z. Semadeni, Struktury w sensie Bourbakiego i kategorie, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, seria I. Prace Matematyczne” 10, s. 37–50, 1966.

Przypisy

↑ Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6., rozdz. I, § 5.
↑ Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968; oraz § 5.5 w książce: Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
↑ Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975., rozdział VIII.
↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre I (Théorie des ensembles), Chapitre 4 (Structures), Act. Sci. Ind. 1258, Paris 1957 (są też przekłady: angielski i rosyjski).

Bibliografia

Zbigniew Semadeni, Struktury w sensie Bourbakiego i kategorie, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, seria I. Prace Matematyczne” 10, s. 37–50, 1966.
P. van Hiele, Structure and Insight, Orlando et al, Academic Press, 1986. ISBN 0-12-714161-8.

[2] Rozpatruje się też działania n-arne $G^{n}\to G$ i nieskończone zbiory takich działań na G, np. zbiór wszystkich możliwych złożeń powyższych trzech działań na grupie.

[6] Poglądowe omówienie definicji Bourbakiego daje Z. Semadeni, Struktury w sensie Bourbakiego i kategorie, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, seria I. Prace Matematyczne” 10, s. 37–50, 1966.

[1] Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6., rozdz. I, § 5.

[3] Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968; oraz § 5.5 w książce: Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.

[4] Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975., rozdział VIII.

[5] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre I (Théorie des ensembles), Chapitre 4 (Structures), Act. Sci. Ind. 1258, Paris 1957 (są też przekłady: angielski i rosyjski).

[1]

[a]

[2]

[3]

[4]

[b]