Komutator (matematyka)

Komutator – wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

Teoria grup

Komutator dwóch elementów $g$ i $h$ należących do grupy $G$ to element

$[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh.$

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy $g$ i $h$ komutują (czyli są przemienne, tzn. $gh=hg$). Podgrupa grupy $G$ generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy $G.$ Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga

Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

$[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}.$

Tożsamości

W tej sekcji wyrażenie $g^{x}$ oznacza sprzężony (przez $x$) element $x^{-1}gx.$

• $[y,x]=[x,y]^{-1}.$
• $\left[[x,y^{-1}],z\right]^{y}\cdot \left[[y,z^{-1}],x\right]^{z}\cdot \left[[z,x^{-1}],y\right]^{x}=1.$
• $[xy,z]=[x,z]^{y}\cdot [y,z].$
• $[x,yz]=[x,z]\cdot [x,y]^{z}.$

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga

Powyższa definicja sprzężenia $g$ przez $x$ używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie $g$ przez $x$ jako $xgx^{-1},$ zwykle zapisuje się to jako ${}^{x}g.$

Teoria pierścieni

Komutator dwóch elementów $a$ i $b$ pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

$[a,b]=ab-ba.$

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są przemienne (komutują). W algebrze liniowej, jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

Tożsamości

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

• $[A,A]=0,$
• $[A,B]=-[B,A],$
• $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

• $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C],$
• $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B,$
• $[A,BC]=[AB,C]+[CA,B],$
• $[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC,$
• $[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]=[[A,C],[B,D]].$

Jeżeli $A$ jest ustalonym elementem pierścienia ${\mathfrak {R}},$ pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania $D_{A}\colon R\to R$ danego wzorem $B\mapsto [A,B].$ Innymi słowy, odwzorowanie $D_{A}$ definiuje różniczkowanie w pierścieniu ${\mathfrak {R}}.$

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Campbella-Hausdorffa:

• $e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\tfrac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\tfrac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\dots$

Przykład

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy $\operatorname {d} ,$ który przekształca funkcję w jej pochodną oraz $\operatorname {x} ,$ który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej $F$ przebiega jak następuje:

• $\operatorname {d} (\operatorname {x} F)=\operatorname {dx} F+\operatorname {xd} F=F+\operatorname {xd} F,$ ponieważ $\operatorname {dx} =1,$
• $\operatorname {x} (\operatorname {d} F)=\operatorname {xd} F.$

Odjęcie tych równań stronami daje:

$\operatorname {d} (\operatorname {x} F)-\operatorname {x} (\operatorname {d} F)=F+\operatorname {xd} F-\operatorname {xd} F,$

$\operatorname {d} (\operatorname {x} F)-\operatorname {x} (\operatorname {d} F)=F.$

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez $F$ jest

$(\operatorname {dx} -\operatorname {xd} )F=F,$

$(\operatorname {dx} -\operatorname {xd} )=1,$ czyli $[\operatorname {d} ,\operatorname {x} ]=1.$

Stąd wynik zastosowania obu operatorów $\operatorname {d}$ i $\operatorname {x}$ na funkcję $F$ zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

Pierścienie i algebry z gradacją

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako $[\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .$

Różniczkowania

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

$\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].$

Wówczas $\operatorname {ad} (x)$ jest różniczkowaniem, a $\operatorname {ad}$ jest liniowe, np. $\operatorname {ad} (x+y)=\operatorname {ad} (x)+\operatorname {ad} (y)$ oraz $\operatorname {ad} (\lambda x)=\lambda \operatorname {ad} (x)$ i homomorfizmem algebry Liego, np. $\operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)],$ ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość $\operatorname {ad} (xy)=\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y)$ w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

• $\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (x)(y)=\left[x,[x,y]\right].$
• $\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (a+b)(y)=\left[x,[a+b,y]\right].$

Komutator w fizyce

Komutator jest często używany w fizyce kwantowej:

• W mechanice kwantowej procedura kwantowania kanonicznego polega na zastąpieniu nawiasów Poissona komutatorami, tzn. $[\operatorname {X} ,\operatorname {P} ]=\operatorname {XP} -\operatorname {PX} =i\hbar ,$ gdzie $\operatorname {X}$ oraz $\operatorname {P}$ stają się operatorami w przestrzeni Hilberta. Konsekwencją wprowadzenia takich reguł komutacyjnych jest zasada nieoznaczoności Heisenberga.
• W procedurze drugiej kwantyzacji (stosowanej dla układów wielu cząstek) wprowadzane są operatory kreacji i anihilacji cząstek, które dla bozonów spełniają reguły komutacji, a dla fermionów antykomutacji.
• W definicjach funkcji Greena stosowane są komutatory dla bozonów oraz antykomutatory dla fermionów.

Antykomutator

Antykomutator $\{a,b\}$ lub $[a,b]_{+}$ definiowany jest jako $[a,b]_{+}=ab+ba.$ Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus $[a,b]_{-}.$

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermiony). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, tzn. $[{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]_{+}=0={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }.$

Reguła ta wynika z zakazu Pauliego mówiącego, że dany stan kwantowy może być obsadzony tylko przez jedną cząstkę.

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym $[\cdot ,\cdot ]_{\pm }$ odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

Zobacz też

• antyprzemienność
• algebra różniczkowa
• pochodna Pincherlego
• nawias Poissona
• kanoniczna relacja komutacji
• mechanika kwantowa

Bibliografia

• David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics. Wyd. drugie. Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X. Brak numerów stron w książce
• Liboff, Richard L.: Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5. Brak numerów stron w książce