함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
Y 는 함수 f 의 공역이다. Y 의 노란색 부분집합은 정의역의 상 또는 f 의 치역 이다. 수학 에서 어떤 함수의 공역 (共域, 영어 : codomain, target set ) 또는 공변역 (共變域)은 이 함수의 값들이 속하는 집합이다.
수학 에서, 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
f
{\displaystyle f}
공역 이라고 한다. 반면,
X
{\displaystyle X}
f
{\displaystyle f}
정의역 이다.
모든
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
정의역 의 상 에 포함될 필요는 없다. 정의역의 상 , 즉
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
y
{\displaystyle y}
f
{\displaystyle f}
치역 이라고 한다. 치역은 항상 공역의 부분집합이지만, 치역이 공역과 같을 필요는 없다.
현대적 관점에서, 함수는 정의역과 공역 및 이들 사이의 관계(그래프)로 구성된다. 즉, 그래프가 같더라도 공역이 다르다면 두 함수를 다른 함수로 간주한다.
함수
f
{\displaystyle f}
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
:
x
↦
x
2
{\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}}
이 경우,
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
[
0
,
∞
)
⊂
R
{\displaystyle [0,\infty )\subset \mathbb {R} }
함수
g
{\displaystyle g}
g
:
R
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )}
g
:
x
↦
x
2
{\displaystyle g\colon x\mapsto x^{2}}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
함수를 하나 더 정의해 보면 왜 그런지 알 수 있다.
h
:
x
↦
x
{\displaystyle h\colon x\mapsto {\sqrt {x}}}
정의역은 반드시
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
h
:
[
0
,
∞
)
→
R
{\displaystyle h\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} }
이제 함수를 합성 해 보자.
h
∘
f
{\displaystyle h\circ f}
h
∘
g
{\displaystyle h\circ g}
이 둘 중에서 어떤 합성 함수가 올바른 것인가?
밝혀진 대로, 첫 번째 것은 올바른 합성 함수가 아니다.
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
이것은 분명치 못하며, 이런 것은 피해야 한다. 함수의 합성은 따라서 오른쪽 함수의 공역과 왼쪽 함수의 정의역이 같아야 할 수 있다는 것이다. 치역은 함수를 합성하는 시점에서는 결정되지 않을 수 있는 것이기 때문이다.
공역은 전사 함수 인지 아닌지에 대해서도 영향을 줄 수 있다.
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
단사 함수 인지 아닌지에는 영향을 미치지 않는다.
다른 뜻에 대해서는 공역 (동음이의) 문서를 참고하십시오.
