Quadratura (mathematica)

Quadratura designare potest computationem areae figurae geometricae planae (quadratura arithmetica) vel integralis. Cui hoc nomen est, quod area figurae cognita haec per aream quadri exprimi posse existimatur. Qua de causa problemum graphicum constructio quadri aequalis areae est (quadratura geometrica). Hoc problemum saepissime difficilius est sola computatione longitudinis lateris quadri quaesiti.

Aliquot exempla

Methodus antiquus ad valorem medicum geometricum quaerendum

Quadratura rectanguli

Computatio areae rectanguli et ex area longitudinis lateris quadri facilis est, nam area rectanguli computari potest formula $A=lb$. Ergo, si latus quadri huius areae quaeritur, quod aequat $a={\sqrt {lb}}$. Quadratura geometrica ita fieri potest:

1.) Rectangulo ABCD dato hemicyclum supra latus AB constitue

2.) Punctum E in latere AB reperi, uti EB = BC

3.) Lineam normalem lateris AB in puncto E construe

4.) Punctum commune lineae normalis atque hemicycli, F, reperi

5.) Lineam directam puncta A et F continentem pinge

6.) Punctum commune lineae parallelae lineae per puncta A et F per B atque lineae per D et C, G, reperi

7.) Quadrum, cuius anguli in B, F et G siti sunt, quaesitum est

Argumentum dicti septimi:

Figura constructa quadrum est, quod triangula EBF et BGC in unius lateris longitudine ($EB=BC$) atque in duobus angulis latus circumdantibus (angula recta in E et C, angula in B) consentiunt. Dimidium dextrum lateris rectanguli AB a puncto E divisum est in partes duae, quarum uni longitudo ${\frac {l}{2}}-b$ (l longitudinem et b latitudinem rectanguli designat), alteri longitudo $b$ (defintio puncti E) est. Pictura radii hemicycli ad punctum F atque lateris quadri BF duo triangula angulorum rectorum creat. Qua de causa longitudo EF et ex ea BF (lateris quadri) theorema Pythagorae computari potest:

$r^{2}-({\frac {l}{2}}-b)^{2}=EF^{2}$,

ergo $EF={\sqrt {{\frac {l^{2}}{4}}-{\frac {l^{2}}{4}}+lb-b^{2}}}$,

ergo $EF={\sqrt {lb-b^{2}}}$

$b^{2}+EF^{2}=BF^{2}$,

ergo $BF={\sqrt {b^{2}+lb-b^{2}}}$,

ergo $BF={\sqrt {lb}}$.

Area quadri itaque $lb$ (aream rectanguli) aequat, quod erat demonstrandum!

Quadratura trianguli

Quae similiter peragitur, nam omnia triangula faciliter in rectangulis aequalium arearum transformari possunt. Constructio:

1.) Unam altitudinem trianguli construe

2.) Ex altitudine dimidiata atque e longitudine trianguli puncto altitudinis contraria rectangulum construe; cuius area aream trianguli aequat.

3.) Quadratura rectanguli constructi quadrum quaesitum dat.

Quadratura parabolae

Ad hanc peragendam usurpari potest calculus integralis.

1.) Parabola $f(x)=ax^{2}$ data sit. Aream sub hac parabola in intervallo a $-t$ usque ad $+t$ ($t\in \mathbb {R} ,t>0$) computatur formula $A_{1}(t)={\frac {2a}{3}}\cdot t^{3}$ (quae a calculo integrali datur).

2.) Area autem parabolae definita est altera pars rectanguli, quod hoc segmentum parabolae circumdat. Qua de causa area parabolae computatur ita: $A(t)=A_{rectangulum}-A_{1}=2t\cdot at^{2}-{\frac {2a}{3}}\cdot t^{3}=2at^{3}-{\frac {2a}{3}}t^{3}={\frac {4a}{3}}\cdot t^{3}$.

3.) Triangulo eiusdem basis atque altitudinis area est $A_{triangulum}={\frac {ch_{c}}{2}}={\frac {2t\cdot at^{2}}{2}}=at^{3}$.

Hoc argumentum theoremae sequentis est: "Area segementi parabolae et area trianguli eiusdem basis atque altitudinis sicut $4:3$ sunt."

Hac theorema cognita quadratura geometrica admodum simpliciter peragitur; nam triangulo nominato constructo atque in rectangulo aequalis areae transformato huius rectanguli longitudo solum tertia parte amplificanda est; quadratura rectanguli novi quadrum quaesitum dat.

Quadratura circuli

Haec problemum iam multum vetus est, in quo mathematici diu versati sunt. Primus Germanus Ferdinand von Lindemann anno 1882 demonstravit quadraturam ciruli modum circino atque regula impossibilem esse. Sed sunt constructiones dantes quadrum admodum exactum. Quae numero prope numerum pi utuntur, velut numeri $3{\frac {1}{8}}=3,125$ (iam antiquitate cognitus), ${\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}=3,141533...$ et ${\sqrt[{4}]{9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}}}=3,141592652...$.

Quadratura hodie - nexus

Hodie quadratura geometrica non iam tam magna est quam arithmetica, nam aream multarum figurarum computare possumus calculo integrali et aream solum numerum habere saepe sufficit. Qua de causa, si de quadratura inter mathematicos dicitur, saepe hoc ad quadraturam arithmeticam pertinet. Terminus "quadratura" non solum in mathematica, sed etiam in physica, astronomia atque architectura usurpatur. Vide qua de causa etiam:

quadratura (physica)

quadratura (astronomia)

quadratura (architectura)