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Article
Open AccessFubini’s theorem for Daniell integrals
We show that in the theory of Daniell integration iterated integrals may always be formed, and the order of integration may always be interchanged. By this means, we discuss product integrals and show that the...
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Chapter
Rund um den Schwingungswiderstand
Unsere bisherige Behandlung von schwingenden Saiten und Luftsäulen war idealisiert und sieht bei Musikinstrumenten über einen wesentlichen Umstand hinweg. Für die schwingenden Saiten gingen wir davon aus, dass...
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Chapter
Wellen und Töne
Die Welt ist voller Geräusche, die Akustik spricht von Schall. Er ist Ausdruck feinster Druckschwankungen, die die Luft in Wellen durchlaufen und in ihrer Größenordnung gerade einmal ein Milliardstel bis ein M...
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Chapter
Schwingungsmoden
Eine komplette Lösung, wie sie der Satz von d’Alembert für die eindimensionale Wellengleichung bietet, lässt sich für komplexere schwingende Systeme meist nicht mehr finden. In solchen Fällen kann man erkunden...
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Book
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Chapter
Tonsysteme
Ein Merkmal abendländischer Musik ist die Mehrstimmigkeit, die Verflochtenheit von Melodie und Harmonie. An die zugrunde liegenden Tonsysteme erwachsen daraus Anforderungen, die teils gar nicht miteinander ver...
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Chapter
Klangspektren
Eine periodische Schwingung des Luftdrucks wird, wie wir schon im ersten Kapitel festgestellt haben, vom Gehör als Ton wahrgenommen.
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Article
On the Genealogical Structure of Critical Branching Processes in a Varying Environment
Critical branching processes in a varying environment behave much the same as critical Galton–Watson processes. In this note we like to confirm this finding with regard to the underlying genealogical structur...
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Chapter
Maße
Messbare Räume dienen uns dazu, Maße zu definieren.
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Chapter
Integrierbare Funktionen
Die Integration von messbaren \(\mathsf {f} : \mathsf {S} \rightarrow \bar{\mathbb {R}}\) führt man auf die Integration von nichtnegativen messbaren Funktionen zurück. Dazu zerlegen wir f in Positiv- und
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Chapter
Eindeutigkeit und Regularität von Maßen
Eindeutigkeitssätze dienen in der Maß- und Integrationstheorie dazu, Maße festzulegen und zu identifizieren. Der wichtigste dieser Sätze klärt, wann zwei Maße auf einer
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Chapter
Die Transformationsformel von Jacobi
Die Bestimmung des Volumens von Parallelotopen im Euklidischen Raum mittels Determinanten haben wir in Satz 3.4 behandelt. In diesem Kapitel geben wir eine weitrei...
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Chapter
Das Integral von nichtnegativen Funktionen
Ausgehend von einem Maß \(\upmu \) auf dem messbaren Raum ...
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Chapter
Konvergenz
Bisher hatten wir zwei Typen von Konvergenz messbarer Funktionen im Blick: monotone Konvergenz und Konvergenz fast überall. Beides sind Begriffe, die sich aus der Konvergenz der Funktionen in Punkten des Grund...
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Chapter
Einleitung
Die Bestimmung spezieller Flächeninhalte, Volumina und Integrale ist ein uraltes Thema der Mathematik. Unübertroffen sind die Leistungen des Archimedes, namentlich seine Bestimmung von Kugelvolumen und -oberfl...
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Chapter
Absolute Stetigkeit
In diesem Kapitel behandeln wir die Frage, wann Maße und wann Funktionen Dichten besitzen.
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Chapter
Hilberträume
Wir kommen zurück auf den Raum \(\mathsf {L}_{2}(\mathsf {S}; \upmu )\) quadratintegrabler Funktionen, dessen grundlegende Eige...
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Chapter
Messbarkeit
In diesem Abschnitt führen wir messbare Mengen und messbare Funktionen ein. Wie in der Einleitung erläutert geht es dabei hauptsächlich um ein Rechnen mit Mengen-systemen. Dabei betrachten wir auch endliche od...
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Chapter
Mehrfachintegrale und Produktmaße
Man kann messbare Funktionen mehrfach nach verschiedenen Variablen integrieren, das ist nicht besonders überraschend. Dass aber das Resultat von der Reihenfolge beim Integrieren abhängen kann, war für Mathemat...
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Chapter
Konstruktion von Maßen
Sei \(\mathcal {A}\) eine \(\upsigma \) -Al...