Puazeija likums

Šķidrumam ar viskozitāti, tā ātrums gar ārsienām ir tuvs nullei, ātrumam palielinoties tuvāk caurules centram.

Puazeija likums ir lamināras plūsmas apraksts cilindriskā caurulē, ja tiek ņemti vērā viskozie spēki. Likumu formulējis franču ārsts un fiziķis Ž. M. Puazeijs (Jean-Leonard-Marie Poiseuille). Kā formula tas pierakstās:

$Q={\frac {\pi R^{4}(P_{1}-P_{2})}{8\eta L}}$, kur $Q$ ir tilpuma vai masas plūsma, $R$ ir caurules rādiuss, $P_{1}-P_{2}$ ir spiedienu starpība abos cauruļu galos, $\eta$ ir viskozitātes koeficients un $L$ ir caurules garums.

Šī formula pieņem, ka caurules augstums un šķērsgriezuma laukums nemainās, šķidrums ir nesaspiežams, caurules garums ir daudzkārt lielāks par rādiusu $L>>R$ un plūsmai nav paātrinājuma.

Formulu var aptuveni interpretēt, piemēram, asinsrites kontekstā. Tā kā masas plūsma ir atkarīga no rādiusa ceturtajā pakāpē, artērijas rādiusam samazinoties holesterīna vai aterosklerozes dēļ, sirdij vajag vairāk strādāt, lai panāktu tādu pašu plūsmu.

Izvedums

Izveduma shēma: katrai cilindra sienai ar rādiusu $r$ piemīt savs plūsmas ātrums. Lai iegūtu pilno plūsmu caur šķērsgriezumu, nepieciešams summēt katru cilindra sienas un ātruma reizinājumu, izmantojot integrēšanu.

Ieviešot caurulei raksturīgos lielumus (rādiuss $R$, garums $L$), šķidrumam raksturīgos lielums(spiedienu starpību galos $P_{1}-P_{2}$, viskozitāti $\eta$) un veicot vairākus pieņēmumus, var iegūt vienkāršotu modeli plūsmai.

Var ieviest spēku, kas veicina kādas cilindriskas plūsmas kustību ar rādiusu $r<R$. To uz priekšu dzīs spiedienu starpības radītais spēks uz laukumu:

$F_{dzen}=p\cdot S=(P_{1}-P_{2})\cdot \pi r^{2}$

Šim spēkam pretosies berzes spēks starp slāņiem (ģeometriski cilindra sāni berzējas pret pārējo šķidrumu). Pieņemot, ka šķidrums ir Ņūtona šķidrumi, tam pieliktias bīdes mehāniskais spriegums ir : $\tau =\eta \cdot {\frac {dv}{dr}}$. Tas darbojas uz kādu laukumu (šoreiz cilindra sāniem), tādēļ var iegūt spēku: $F_{berze}=\tau \cdot S=\eta \cdot {\frac {dv}{dr}}\cdot 2\pi rL$.

Tā kā šķidrums nepaātrinās, tad spēku summa ir nulle, jeb $\sum F_{i}=0,\ \ \ F_{dzinejs}+F_{berze}=0,\ \ \ (P_{1}-P_{2})\cdot \pi r^{2}=-\eta \cdot {\frac {dv}{dr}}\cdot 2\pi rL$, atdalot mainīgos un integrējot iegūst:

$\int dv=-\int {\frac {(P_{1}-P_{2})r}{2\eta L}}dr,\ \ \ v(r)=-{\frac {(P_{1}-P_{2})r^{2}}{4\eta L}}+c$, izmantojot nosacījumu, ka plūsmas ātrums gar caurules sienām ir nulle, var uzzināt konstanti:

$v(r=R)=0,\ \ \ 0=-{\frac {(P_{1}-P_{2})R^{2}}{4\eta L}}+c$, jeb $c={\frac {(P_{1}-P_{2})R^{2}}{4\eta L}}$un pilnā ātruma formula ir $v(r)={\frac {P_{1}-P_{2}}{4\eta L}}\cdot (R^{2}-r^{2})$

Ar ātruma formulu var aprēķināt šķidruma ātrumu jebkuram attālumam no caurules centra. Šim ātrumam piemīt radiāla simetrija - veselai riņķa līnijai piemīt šīs ātrums. Lai iegūtu plūsmu caur caurules šķērsgriezumu, vajag summēt katru šo riņķa līniju ar tās ātruma reizinājumu, lai iegūtu laukuma un ātruma reizinājumu, kas arī atbilst tilpumam ik sekundi.

$Q=\int _{0}^{R}v(r)\cdot 2\pi rdr={\frac {(P_{1}-P_{2})\pi }{2\eta L}}\int _{0}^{R}(R^{2}-r^{2})rdr={\frac {\pi R^{4}(P_{1}-P_{2})}{8\eta L}}$.