Прав агол

Прав агол
	Прав агол α има 90o = π/2≈1,5708
Тип	агол во рамнина (2д)
Поддршка	самостоен
Other	конвексен

Во елементарната геометрија, прав агол е агол чија ротација е четвртина кружница.^[1] Тој има 90 степени. Краците на прав агол се нарекуваат меѓусебно нормални. Внатрешниот дел од прав агол е четвртина рамнина.^[2]

Прав агол има девеeсет степени, односно е еднаков на 90^o.
Прав агол има ^π/₂ радијани, односно е еднаков на ^π/₂.

Прав агол:    $\alpha =90^{\circ }={\tfrac {\pi }{2}}\approx 1{,}5708$

Одлики во елементарна геометрија

Прав агол: 90^o. Доказ: Полн агол, т.е. цела кружница има 360°. Прав агол е четвртина кружница, односно ¼(360°)=90°.
Конструкција на прав агол е еден од основните конструкции со шестар и линијар (види долу).
Бидејќи прави агли се јавуваат во многу, многу области во математиката, при цртање на прав агол истиот едноставно се означува со (аголен) лак со точка внатре без посебно пишање на степени или радијани (види слики).
- За повеќе околу означувањето на прав агол во цртежи и во текст види нормални прави.
Велиме дека две прави се сечат под прав агол или две прави се нормални ако агол формиран од нивната пресечна точка и две последователни полуправи е прав агол (види и нормални прави).^[3]
Краците на прав агол се нормални и обратно, т.е. две полуправи со заедничко теме се нормални ако и само ако формираат прав агол.

Геометриски фигури со прав агол

Најпознатите геометриски фигури имаат еден или повеќе внатрешни прави агли. Формално, велиме дека аголот помеѓу две страни од некоја геометриска фигура е прав агол ако имаат заедничко теме и аголот формиран со него и продолжувањата на страните од него во полуправи формира прав агол.

Правоаголник се дефинира како четириаголник со 4 внатрешни прави агли.
Квадрат се дефинира како четириаголник со 4 исти (скадни) страни и 4 внатрешни прави агли.
Правоаголен триаголник се дефинира како триаголник со внатрешен прав агол.
Правоаголен трапез се дефинира како трапез со внатрешен прав агол.
- Тригонометријата се дефинира како гранка на математиката која ги проучува својствата на слични правоаголни триаголници.


Квадрат	Правоаголник	Правоаголен трапез	Правоаголен триаголник

Конструкција на прав агол

Конструкција на прав агол, односно конструкција на нормала или конструкција на симетрала на отсечка е еден од основните 7 конструкции со шестар и линијар.^[4]

За цртање на прав агол во точката А на отсечката m (види инормални прави).

Доколку точката А е на крајот на отсечката m или m е многу кратка, со линијарот (и со лесна рака) се продолжува m така да точката А лежи внатре.
Со шестар се црта кружница со центар во А. Се означуваат двете пресечни точки на кружницата со m. (Ако кружницата нема пресечни точки со m, треба или уште да се продолжи m или да се намали ширината на шестарот.)
Се проширува шестарот и се цртаат два кружни лакови (или кружници) и тоа: едната со центар во едната пресечна точка, а другата со центарот во другата пресечна точка.
Овие две кружници се сечат над точката А. Се означува оваа пресечна точка.
Користејќи го линијарот се црта отсечка од оваа пресечна точка до точката А.

Нацртаната права е нормална со m, односно аголот помеѓу двете отсечки е прав агол со теме А.

Стандардна позиција

Во декартов правоаголен координатен систем, аголot α е во стандардна позиција ако темето е О(0,0), а почетниот крак е позитивниот дел од х-оска. Крајниот крак се добива по ротација за големината на α во насоката спротивен на стрелките на часовникот.

Крајниот крак на прав агол во стандардна позиција е пак позитивниот дел од y-оската, односно се наоѓа помеѓу I-иот и II-иот квадрант. Лакот е (било која) полукружница во I-иот квадрант од рамнината со центар во О(0,0), а насоката на лакот почнува на позитивниот дел од x-оската, а завршува на позитивниот дел од y-оската.
Складни агли во степени: 90°=-270°.
Складни агли во радијани: π/₂=-3π/₂. (Оваа равенка важи само за агли. Се разбира дека како броеви; π/₂≠-3π/₂. Формално, треба да се користи знакот за складност, односно π/₂≅-3π/₂.)
Негативен прав агол е аголот 270°=-90°, односно аголот во стандарна позиција со краен крак на негативниот дел од y-оската, односно се наоѓа помеѓу III-иот и IV-иот квадрант (види долу).


Триаголник во единична кружница со агол α=90^o е дегенериран триаголник.

Тригонометрија

Во тригонометријата, соодветниот триаголник во едничната кружниа со прав агол е дегенериран правоаголен триаголник. (Дегенериран триаголник е триаголник каде што едната страна има нула должина така да е сплеснат. Автроматско, внатрешните агли на дегенериран триаголник се 90^o, 90^o, и 0^o. Дегенерирани триаголници се наоѓа при празен 0^o, прав 90^o, рамен 180^o, 270^o и полн 360^o агол.)

Кај прав агол, крајната точка на хипотенузата c е (0,1). Оваа точка лежи на (позитивниот дел од) y-оската. Значи крајната точка на легната (соседната) страна b e (0,0), т.е. триаголникот нема ширина и b=0. Значи спротивната страна a и хипотенузата се преклопуваат и a=1. Се разбира дека хипотенузата е полупречник c=1 (види слика).

α	$90^{\circ }={\tfrac {\pi }{2}}$
sin(α)	$\sin(90^{\circ })=1$
cos(α)	$\cos(90^{\circ })=0$
tan(α)	$\tan(90^{\circ })=\infty \,,$ т.е. не постој

Доказ: $\sin(90^{\circ })={\frac {a}{c}}={\frac {1}{1}}=1\,,\,\,\,\cos(90^{\circ })={\frac {b}{c}}={\frac {0}{1}}=0\,,\,\,\,\tan(90^{\circ })={\frac {a}{b}}={\frac {1}{0}}=\infty$ .


Триаголник во единична кружница со агол α=270^o е дегенериран триаголник.

Кај негативен прав агол, односно за аголот 270°=-90° крајната точка на хипотенузата c е (0,-1). Оваа точка лежи на (негативниот дел од) y-оската. Крајната точка на легната (соседната) страна b e (0,0), т.е. триаголникот нема ширина и b=0. Спротивната страна a и хипотенузата се преклопуваат и a=-1. Се разбира дека хипотенузата е полупречник c=1 (види слика).

α	$270^{\circ }=-90^{\circ }={\tfrac {-\pi }{2}}={\tfrac {3\pi }{2}}$
sin(α)	$\sin(270^{\circ })=\sin(-90^{\circ })=-1$
cos(α)	$\cos(270^{\circ })=\cos(-90^{\circ })=0$
tan(α)	$\tan(270^{\circ })=\tan(-90^{\circ })=\infty \,,$ т.е. не постој

Доказ: $\sin(90^{\circ })={\frac {a}{c}}={\frac {-1}{1}}=-1\,,\,\,\,\cos(90^{\circ })={\frac {b}{c}}={\frac {0}{1}}=0\,,\,\,\,\tan(90^{\circ })={\frac {a}{b}}={\frac {-1}{0}}=\infty$ .

Наводи

↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Right angle“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 587. Посетено на 1 декември 2013.
↑ „Right Angle“. Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013.^{[мртва врска]} interactive
↑ Bogomolny, A. (2010). „Angles“ (англиски). Посетено на 1 декември 2013. интерактивeн
↑ Институт за Геогебра на МКД. „Конструкции со Геогебра“. Архивирано од изворникот на 2014-02-14. Посетено на 1 декември 2013.

Поврзани теми

Надворешни врски

„Angles as turns: How can angles be negative?“ (англиски). 2003. Посетено на 1 декември 2013.
„Angles (trigonometry)“. Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. интерактивен

[Oxford-1] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Right angle“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 587. Посетено на 1 декември 2013.

[2] „Right Angle“. Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013.^{[мртва врска]} interactive

[3] Bogomolny, A. (2010). „Angles“ (англиски). Посетено на 1 декември 2013. интерактивeн

[4] Институт за Геогебра на МКД. „Конструкции со Геогебра“. Архивирано од изворникот на 2014-02-14. Посетено на 1 декември 2013.

[1]

[2]

[3]

[4]