0.999...

Angka perpuluhan berulang ini berterusan dengan jumlah angka sembilan yang tidak terhingga.

Dalam matematik, perpuluhan berulang 0.999... (kadang kala ditulis dengan lebih atau kurang angka 9 sebelum elipsis akhir seperti 0.9... misalnya, atau dalam pelbagai notasi lain seperti 0.9, 0.(9), atau $\scriptstyle \mathbf {0} .\mathbf {\dot {9}}$ ) menandakan sebuah nombor nyata yang boleh dibuktikan bersamaan dengan nombor satu. Dengan erti kata lain, simbol "0.999..." dan "1" mewakilkan nombor yang sama. Bukti-bukti matematik bagi kesamaan ini telah dihasilkan dengan bermacam-macam kerapian matematik yang mengambil kira pembangunan nombor-nombor nyata yang diutamakan, andaian latar belakang, konteks sejarah dan kumpulan sasaran.

Setiap angka perpuluhan bukan sifar yang berakhir (dengan jumlah angka 0 yang tidak terhingga) mempunyai perwakilan pasangan yang sama nilainya dengan jumlah angka 9 yang tidak terhingga (contohnya, 8.32 dan 8.31999...). Biasanya, perwakilan perpuluhan berakhir lebih digemari, menyebabkan tanggapan salah bahawa ia merupakan satu-satunya bentuk perwakilan. Fenomena matematik yang serupa turut berlaku dalam semua asas (dengan digit terbesar sesuatu asas) atau dalam sebarang perwakilan nombor nyata yang serupa seperti ini.

Kesamaan 0.999... dan 1 berkait rapat dengan ketiadaan infinitesimal bukan sifar dalam sistem nombor nyata, sistem yang paling biasa digunakan dalam analisis matematik. Sesetengah sistem nombor berlainan seperti sistem hipernyata, ada mempunyai infinitesimal bukan sifar. Dalam kebanyakan sistem nombor alternatif ini, tafsiran biasa ungkapan 0.999... menjadikannya sama dengan 1, tetapi dalam sesetengah sistem nombor ini, simbol "0.999..." menggunakan tafsiran-tafsiran lain yang mempunyai jumlah angka 9 yang tidak terhingga tetapi masih lagi teramat sedikit kurang daripada 1.

Kesamaan 0.999... = 1 telah lama diterima oleh ahli matematik dan merupakan sebahagian daripada pengajaran matematik umum. Walau bagaimanapun, sesetengah pelajar merasakan bahawa ia terlalu bertentangan dengan kebiasaan sehingga mereka mempersoal atau menolak fakta ini. Perkara ini cukup biasa berlaku sehinggakan kesukaran untuk meyakinkan pelajar akan kebenaran identiti ini telah menjadi subjek pelbagai kajian dalam pengajaran matematik.

Bukti algebra

Bukti algebra yang menunjukkan 0.999... mewakilkan angka 1 menggunakan konsep-konsep seperti pecahan, bahagi panjang dan manipulasi digit untuk membentuk transformasi sementara mengekalkan kesamaan daripada 0.999... hingga 1. Namun, bukti-bukti ini tidak begitu ketat kerana ia tidak mengandungi takrifan analitik terperinci bagi 0.999...

Pecahan dan bahagi panjang

Salah satu sebab perpuluhan tidak terhingga merupakan penambahan yang perlu kepada perpuluhan terhingga adalah untuk mewakilkan pecahan. Menggunakan pembahagian panjang, pembahagian mudah dua integer seperti ¹⁄₉ menjadi perpuluhan berulang 0.111..., di mana digit perpuluhan berulang dan tidak berakhir. Angka perpuluhan ini memberikan bukti pantas bagi 0.999... = 1. 9 didarabkan dengan 1 hasilnya 9, maka 9 × 0.111... bersamaan dengan 0.999... dan 9 × ¹⁄₉ bersamaan dengan 1, oleh itu 0.999... = 1:

{\begin{aligned}{\frac {1}{9}}&=0.111\dots \\9\times {\frac {1}{9}}&=9\times 0.111\dots \\1&=0.999\dots \end{aligned}}

Bentuk lain pembuktian ini mendarabkan ¹⁄₃ = 0.333... dengan 3.

Manipulasi digit

Apabila nombor dalam notasi perpuluhan didarabkan dengan 10, digit-digitnya tidak berubah tetapi setiap digit bergerak satu tempat ke kiri. Oleh itu, 10 × 0.999... bersamaan dengan 9.999..., yang 9 lebih banyak daripada angka asal. Perhatikan bahawa apabila menolak 0.999... daripada 9.999..., setiap digit selepas titik perpuluhan pemisah membatalkan satu sama lain, yakni hasilnya ialah 9 − 9 = 0 bagi setiap digit sebegitu. Langkah terakhir menggunakan algebra:

{\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x&=9.999\ldots \\10x&=9+0.999\ldots \\10x&=9+x\\9x&=9\\x&=1\end{aligned}}

Perbincangan

Meskipun bukti-buktu ini mendemonstrasikan bahawa 0.999... = 1, sebanyak mana ia menjelaskan persamaan tersebut bergantung kepada pembaca. Dalam aritmetik pengenalan, bukti-bukti tersebut membantu menjelaskan mengapa 0.999... = 1 tetapi 0.333... < 0.34. Dalam algebra pengenalan, bukti-bukti tersebut dapat membantu menjelaskan mengapa kaedah umum untuk menukarkan antara pecahan dan perpuluhan berulang berkesan, tetapi ia tidak banyak menerangkan berkenaan hubung kait asas antara angka perpuluhan dan nombor yang ia wakilkan, yang mendasari persoalan bagaimana dua angka perpuluhan berbeza boleh dikatakan serupa sama sekali.^[1]

Setelah satu skema perwakilan ditakrifkan, ia boleh digunakan untuk memberi alasan yang kuat bagi hukum-hukum aritmetik perpuluhan yang digunakan di dalam pembuktian-pembuktian di atas. Tambahan lagi, seseorang boleh mendemonstrasi secara terus bahawa titik perpuluhan 0.999... dan 1.000... kedua-duanya mewakilkan nombor nyata yang sama kerana ia terdapat di dalam takrifan. Ini dilakukan di bawah.

Bukti-bukti analitik

Oleh sebab persoalan berkenaan 0.999... tidak memberi kesan kepada pembangunan formal matematik, ia boleh diketepikan seketika sehingga selepas teorem standard analisis nyata dapat dibuktikan. Satu keperluan bagi yang tersebut ialah untuk mencirikan nombor nyata yang boleh ditulis dalam notasi perpuluhan yang terdiri daripada satu tanda yang tidak semestinya ada, urutan terhingga sebarang bilangan angka yang membentuk bahagian integer, pemisah perpuluhan, dan satu urutan angka yang membentuk bahagian pecahan. Untuk tujuan membincangkan 0.999..., bahagian integer boleh diringkaskan sebagai b₀ dan tanda negatif boleh ditinggalkan, supaya pengembangan perpuluhan memiliki bentuk

b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots .

Perlu diperhatikan bahawa bahagian pecahan, tidak seperti bahagian integer, tidak terhad kepada satu set angka yang terhingga. Ini adalah notasi kedudukan, oleh itu angka 5 dalam 500, misalnya, menambahkan nilai satu angka sebanyak 10 kali ganda berbanding angka 5 dalam 50, manakala angka 5 dalam 0.05 menambahkan hanya sepersepuluh nilai berbanding 5 dalam 0.5.

Siri dan urutan tidak terhingga

Salah satu pembangunan paling biasa bagi pengembangan perpuluhan adalah untuk mentakrifkannya sebagai hasil tambah siri tidak terhingga. Secara amnya:

b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .

Bagi 0.999..., teorem penumpuan yang menyentuh berkenaan siri geometri boleh digunakan:^[2]

Jika

|r|<1\,\!

maka

ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.

Oleh sebab 0.999... ialah hasil tambah seperti yang dinyatakan dengan nisbah sepunya r = ¹⁄₁₀, teorem ini dapat membuktikan persoalan berkenaan 0.999... dengan mudah:

0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,

Pembuktian ini (sebenarnya, pembuktian bahawa 10 bersamaan dengan 9.999...) boleh ditemui seawal tahun 1770 di dalam Elements of Algebra oleh Leonhard Euler.^[3]

Hasil tambah siri geometri adalah satu hasil yang diperolehi jauh sebelum Euler. Terbitan biasa pada abad ke-18 menggunakan manipulasi sebutan demi sebutan serupa dengan bukti algebra yang diberikan di atas, dan setakat 1811, buku teks oleh Bonnycastle, An Introduction to Algebra menggunakan argumen bagi siri geometri untuk menjelaskan kesamaan 0.999... = 1.^[4] Tindak balas melawan kaedah penghasiltambahan yang begitu liberal pada abad ke-19 menghasilkan takrifan yang masih digunapakai secara meluas pada hari ini: Hasil tambah satu siri ditakrifkan sebagai had urutan hasil tambah separanya. Pembuktian bagi teorem tersebut terang-terangan mengira urutan yang telah diberikan; ia boleh ditemui dalam sebarang pengenalan berdasarkan pembuktian kepada kalkulus atau analisis.^[5]

Satu jujukan (x₀, x₁, x₂, ...) mempunyai had x sekiranya jarak |x − x_n| menjadi teramat kecil semakin n bertambah. Pernyataan bahawa 0.999... = 1 boleh dengan sendirinya diterjemah dan dibuktikan sebagai satu had:^[6]

0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.\,

Langkah terakhir yang menyatakan bahawa ¹⁄_10ⁿ → 0 semakin n → ∞ selalunya dijelaskan oleh sifat Archimedes nombor nyata. Penjelasan berdasarkan had bagi 0.999... selalu dinyatakan dalam istilah-istilah yang lebih menonjol tetapi kurang tepat. Misalnya, buku teks The University Arithmetic dari tahun 1846 menjelaskan ".999 +, berterusan hingga tidak terhingga = 1, kerana setiap penambahan angka 9 membawa nilai perpuluhan tersebut semakin hampir dengan 1"; Arithmetic for Schools tahun 1895 pula mengatakan "...apabila sejumlah besar angka 9 diambil kira, perbezaan antara 1 dan .99999... menjadi terlalu kecil sehingga tidak dapat dibayangkan".^[7] Heuristik sebegini selalu ditafsirkan oleh pelajar seolah-olah ia menyatakan bahawa 0.999... itu sendiri adalah lebih kecil daripada 1.

Selang tersarang dan batas atas terkecil

Takrifan siri di atas ialah cara mudah untuk menakrif nombor nyata yang dinamakan oleh satu kembangan perpuluhan. Pendekatan yang sepadan dengannya berkait dengan proses yang bertentangan: bagi sesuatu nombor nyata, berikan pengembangan perpuluhan (satu atau lebih) untuk menamakannya.

Jika satu nombor nyata x diketahui berada di dalam selang tersarang [0, 10] (maknanya ia lebih besar atau sama dengan 0 dan lebih kecil atau sama dengan 10), boleh dibayangkan selang tersarang ini dibahagikan kepada 10 bahagian kecil yang bertindih hanya pada tetitik akhirnya: [0, 1], [1, 2], [2, 3], dan seterusnya sehingga [9, 10]. Nombor x perlu berada dalam salah satu seselang tersarang ini; sekiranya ia berada dalam [2, 3] rekodkan angka "2" (angka sebelumnya) dan bahagikan lagi selang itu kepada [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]. Jika proses ini diteruskan, satu jujukan tak terhingga selang tersarang dapat diperolehi, yang dilabel oleh satu jujukan digit yang tidak terhingga b₀, b₁, b₂, b₃, ... Dari sini boleh ditulis

x=b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}\dots .

Dalam bentuk di atas, identiti-identiti 1 = 0.999... dan 1 = 1.000... masing-masing menunjukkan yang 1 berada dalam seselang tersarang [0, 1] dan [1, 2], maka sesiapa boleh memilih mana-mana subselang untuk mencari digit-digitnya. Untuk memastikan notasi ini tidak menyalahgunakan tanda "=", perlulah dicari satu cara untuk membina semula satu nombor nyata unik bagi setiap perpuluhan. Ini boleh dilakukan dengan had-had, tetapi pembinaan-pembinaan lain diteruskan dengan tema penurutan.^[8]

Satu pilihan secara terus bagi pembuktian ini ialah teorem selang tersarang yang memastikan satu jujukan selang tersarang dan tertutup yang panjangnya menjadi sangat kecil, mengandungi tepat satu nombor nyata di persilangannya. Oleh itu, b₀.b₁b₂b₃... ditakrifkan sebagai nombor unik yang terdapat dalam semua selang [b₀, b₀ + 1], [b₀.b₁, b₀.b₁ + 0.1] dan seterusnya. Dengan ini, 0.999... ialah nombor nyata unik yang terdapat dalam semua selang [0, 1] [0.9, 1], [0.99, 1] dan [0.99...9, 1] bagi semua rentetan terhingga angka 9. Oleh kerana 1 ialah satu elemen bagi setiap selang ini, 0.999... = 1.^[9]

Teorem selang tersarang selalunya didasarkan sifat nombor nyata yang lebih asasi: kewujudan batas atas terkecil atau suprema. Untuk menggunakan objek-objek ini secara terus, perlu ditakrifkan b₀.b₁b₂b₃... sebagai batas atas terkecil satu set malaran tak geser (aproksiman) {b₀, b₀.b₁, b₀.b₁b₂, ...}.^[10] Bolehlah kemudian ditunjukkan bahawa takrifan ini (atau takrifan seselang tersarang) adalah konsisten dengan prosedur pecah bahagi dan sekali lagi menunjukkan yang 0.999... = 1. Tom Apostol merumuskan,

Kenyataan bahawa satu nombor nyata mungkin mempunyai dua perwakilan perpuluhan berbeza hanya mencerminkan kenyataan bahawa dua set nombor nyata berbeza boleh memiliki suprema yang sama.^[11]

Pembuktian daripada pembangunan nombor nyata

Sesetengah pendekatan terang-terangan menakrifkan nombor-nombor nyata sebagai struktur-struktur tertentu yang dibina di atas nombor-nombor nisbah, menggunakan teori set beraksiom. Nombor-nombor asli – 0, 1, 2, 3 dan seterusnya – bermula dengan 0 dan berterusan secara menaik, maka setiap nombor mempunyai nombor selepasnya. Boleh juga dikembangkan lagi senarai nombor asli dengan nenombor negatifnya untuk memberikan semua integer, dan jika dimasukkan sekali nisbah-nisbah, nombor-nombor nisbah boleh diperolehi. Sistem nombor ini disertakan bersama aritmetik tambah, tolak, darab dan bahagi. Lebih terperinci lagi, sistem nombor ini turut menyertakan pengurutan, maka satu nombor boleh dibandingkan dengan nombor lain dan ditentukan sama ada ia sama dengan, kurang atau lebih daripada nombor lain.

Langkah daripada nombor nisbah ke nombor nyata adalah satu peluasan yang besar. Terdapat sekurang-kurangnya dua kaedah popular untuk mencapai langkah ini dan kedua-duanya diterbitkan pada 1872: potongan Dedekind dan jujukan Cauchy. Pembuktian bahawa 0.999... = 1 yang secara terang-terangan menggunakan pembinaan ini belum ditemui dalam buku-buku teks berkenaan analisis nombor nyata kerana dalam dekad-dekad yang lepas, analisis aksiom lebih kerap digunakan. Meskipun apabila satu pembinaan disertakan, ia biasanya digunakan untuk membuktikan aksiom nombor-nombor nyata, yang kemudiannya menyokong bukti-bukti di atas. Namun, sesetengah penulis menyatakan pendapat bahawa bermula dengan satu pembinaan adalah lebih sesuai secara logik, dan bukti-bukti yang terbit daripadanya akan menjadi lebih lengkap.^[12]

Potongan Dedekind

Dalam pendekatan potongan Dedekind, setiap nombor nyata x ditakrifkan sebagai set tidak terhingga semua nombor nisbah kurang daripada x.^[13] Khususnya, nombor nyata 1 ialah satu set semua nombor nyata kurang daripada 1.^[14] Setiap kembangan perpuluhan positif boleh menentukan dengan mudah satu potongan Dedekind: set nombor nisbah yang kurang daripada tahap tertentu kembangan tersebut. Oleh itu, nombor nyata 0.999... ialah set nombor nisbah r di mana r < 0, atau r < 0.9, atau r < 0.99, atau r adalah kurang daripada sebarang nombor dalam bentuk

{\begin{aligned}1-\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{n}\end{aligned}}.

^[15]

Setiap unsur 0.999... adalah kurang dari 1, maka ia adalah unsur nombor nyata 1. Sebaliknya, elemen 1 ialah nombor nyata : ${\begin{aligned}{\tfrac {a}{b}}<1,\end{aligned}}$ which implies

{\begin{aligned}{\tfrac {a}{b}}<1-\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{b}\end{aligned}}.

Oleh kerana 0.999... dan 1 mengandungi nombor-nombor nisbah yang sama, kedua-duanya adalah set yang sama: 0.999... = 1.

Takrifan nombor nyata sebagai potongan Dedekind pertama kali diterbitkan oleh Richard Dedekind pada 1872.^[16] Pendekatan mengenakan satu nombor nyata kepada setiap kembangan perpuluhan yang diberikan di atas disebabkan satu kertas kerja pendedahan bertajuk "Is 0.999 ... = 1?" ("Adakah 0.999 ... = 1?") oleh Fred Richman dalam Mathematics Magazine,^[17] yang disasarkan kepada guru-guru matematik kolej, terutamanya pada tahap junior/senior, dan pelajar-pelajar mereka.^[18] Richman menyatakan bahawa melakukan potongan Dedekind bagi sebarang subset tumpat nombor-nombor nisbah akan memberikan hasil yang sama; lebih tepat lagi, dia menggunakan pecahan perpuluhan yang hasilnya dapat diperoleh lebih pantas. Beliau juga menyatakan bahawa biasanya takrifan-takrifan ini membolehkan { x : x < 1 } menjadi satu potongan tetapi bukan { x : x ≤ 1 } (atau sebaliknya). "Mengapa lakukan sedemikian? Ia khususnya untuk mengenepikan kewujudan nombor-nombor khusus 0.9* dan 1. [...] Maka kita lihat bahawa dalam takrifan tradisional nombor nyata, persamaan 0.9* = 1 telah diterapkan di dalamnya dari awal lagi."^[19] Pengubahsuaian lanjut prosedur tersebut menyebabkan struktur berbeza di mana kedua-dua angka tadi tidak sama nilainya. Meskipun ia konsisten, banyak peraturan-peraturan biasa aritmetik perpuluhan tidak berfungsi lagi seperti biasa, misalnya pecahan 1/3 tidak ada perwakilan; lihat "Sistem nombor alternatif" di bawah.

Jujukan Cauchy

Satu lagi pendekatan ialah dengan menakrifkan nombor nyata sebagai had satu jujukan nombor-nombor nisbah Cauchy. Pembinaan nombor nyata ini menggunakan pengurutan nombor nisbah secara kurang terus. Pertama sekali, jarak antara x dan y ditakrifkan sebagai nilai mutlak |x – y|, di mana nilai mutlak |z| ditakrifkan sebagai maksimum z dan –z, oleh itu ia tidak pernah bernilai negatif. Kemudian nombor-nombor nyata ditakrifkan sebagai jujukan nombor nisbah yang mempunyai sifat jujukan Cauchy menggunakan jarak ini. Dengan kata lain, dalam jujukan (x₀, x₁, x₂, ...), pemetaan dari nombor-nombor asli ke nombor-nombor nisbah, bagi sebarang nombor nisbah positif δ terdapat satu angka N di mana |x_m – x_n| ≤ δ bagi semua m, n > N. (Jarak antara sebutan-sebutan menjadi lebih kecil daripada mana-mana nombor nisbah positif).^[20]

Jika (x_n) dan y_n) adalah dua jujukan Cauchy, ia ditarifkan sebagai sama nilai sebagai nombor nyata sekiranya jujukan (x_n − y_n) mempunyai had 0. Pemendekkan nombor perpuluhan b₀.b₁b₂b₃... menghasilkan satu jujukan nombor nisbah yang bersifat Cauchy; ini diambil untuk menakrif nilai sebenar nombor tersebut.^[21] Oleh itu dalam formalisme ini apa yang perlu dilakukan adalah menunjukkan bahawa jujukan nombor-nombor nisbah

\left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\dots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\dots \right)

mempunyai had 0. Mengambil kira sebutan ke-n jujukan tersebut, bagi n = 0, 1, 2, ..., ia perlu ditunjukkan bahawa

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.

Had ini jelas^[22] jika seseorang memahami takrifan bagi had. Maka sekali lagi, 0.999... = 1.

Perwakilan perpuluhan tidak terhingga

Kebiasaannya dalam pengajaran matematik sekolah menengah, nombor nyata dibina dengan menakrifkan nombor menggunakan integer diikuti dengan titik radiks dan satu jujukan tidak terhingga yang ditulis dalam bentuk rentetan untuk mewakilkan bahagian pecahan bagi sebarang nombor nyata yang diberikan. Dalam binaan ini, set bagi sebarang gabungan integer dan digit selepas titik perpuluhan (atau titik radiks dalam sistem asas bukan 10) ialah set nombor nyata. Binaan ini juga boleh ditunjukkan dengan ketat memuaskan semua aksiom nombor nyata selepas menakrifkan satu hubungan persamaan pada set yang menakrifkan 1 =_eq 0.999... serta bagi sebarang nombor perpuluhan bukan sifar dengan sebutan bukan sifar terhingga dalam rentetan perpuluhannya dengan versi 9 bersambungnya.^[23] Dengan binaan nombor nyata ini, semua bukti bagi pernyataan 1 = .999... boleh dilihat sebagai menganggap secara tersirat persamaan tersebut apabila sebarang operasi dikenakan pada nombor-nombor nyata.

Lihat juga

Nota

^ Hujah ini didapati dalam Peressini dan Peressini m/s 186. William Byers menyatakan bahawa pelajar yang bersetuju bahawa 0.999... = 1 disebabkan bukti-bukti di atas, tetapi masih belum memahami ketaksaannya, tidak benar-benar memahami persamaan tersebut (Byers m/s 39–41). Fred Richman berhujah bahawa argumen pertama mudah dipercayai kerana "kebanyakan orang telah diindoktrinasikan untuk menerima persamaan pertama tanpa berfikir" (m/s 396)
^ Rudin m/s.61, Theorem 3.26; J. Stewart m/s. 706
^ Euler m/s. 170
^ Grattan-Guinness m/s 69; Bonnycastle m/s 177
^ Contohnya, J. Stewart m/s 706, Rudin m/s 61, Protter dan Morrey m/s 213, Pugh m/s 180, J.B. Conway m/s 31
^ Bagi contoh, had yang berikut mengikuti Rudin m/s 57, Theorem 3.20e. Bagi pendekatan yang lebih terus, lihat juga Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals edisi 10, Addison-Wesley, New York. Seksyen 8.1, contoh 2(a), contoh 6(b).
^
Petikan bahasa Inggeris asal ialah:
- The University Arithmetic (Davies m/s 175): ".999 +, continued to infinity = 1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1"
- Arithmetic for Schools (Smith dan Harrington m/s 115): "...when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999... becomes inconceivably small"
^ Beals m/s 22; I. Stewart m/s 34
^ Bartle dan Sherbert m/s 60–62; Pedrick m/s 29; Sohrab m/s 46
^ Apostol m/s 9, 11–12; Beals m/s 22; Rosenlicht m/s 27
^ Petikan bahasa Inggeris asal: "The fact that a real number might have two different decimal representations is merely a reflection of the fact that two different sets of real numbers can have the same supremum." (Apostol m/s 12)
^ Ini dinyatakan oleh Griffiths dan Hilton (m/s xiv) pada 1970 dan sekali lagi oleh Pugh (m/s 10) pada 2001; kedua-dua mereka lebih menggemari potongan Dedekind daripada aksiom. Bagi penggunaan potongan dalam buku-buku teks, lihat Pugh m/s 17 atau Rudin m/s 17. Bagi pandangan berkenaan logik, Pugh m/s 10, Rudin m/s ix, atau Munkres m/s 30
^ Enderton (m/s 113) mengesahkan takrifan ini: "Konsep di sebalik potongan Dedekind ialah satu nombor nyata x boleh dinamakan dengan memberikan satu set tidak terhingga nombor nisbah, iaitu semua nombor nisbah kurang daripada x. Dengan itu, kita boleh menakrif x sebagai set angka nisbah tersebut yang kurang daripada x. Untuk mengelakkan takrifan ini menjadi tidak munasabah, kita perlu boleh mencirikan set-set nombor nisbah yang boleh didapati dengan cara ini..."
^ Rudin m/s 17–20, Richman m/s 399 atau Enderton m/s 119. Untuk lebih terperinci, Rudin, Richman dan Enderton masing-masing memanggil potongan ini 1*, 1^– dan 1_R; ketiga-tiga mengenalpastinya sebagai nombor nyata 1. Perhatikan yang apa yang Rudin dan Enderton namakan potongan Dedekind, dinamakan "potongan Dedekind bukan utama" oleh Richman.
^ Richman m/s 399
^ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (Oktober 2005). "History topic: The real numbers: Stevin to Hilbert". MacTutor History of Mathematics. Diarkibkan daripada yang asal pada 2007-09-29. Dicapai pada 2006-08-30. Unknown parameter |deadurl= ignored (bantuan)
^ "Is 0.999... = 1?".
^ Richman
^ Petikan bahasa Inggeris asal: "Why do that? Precisely to rule out the existence of distinct numbers 0.9* and 1. [...] So we see that in the traditional definition of the real numbers, the equation 0.9* = 1 is built in at the beginning." (Richman, m/s 398–399)
^ Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences" m/s 386
^ Griffiths & Hilton m/s 388, 393
^ Griffiths & Hilton m/s 395
^ Liangpan Li (Mac 2011). "A new approach to the real numbers". arXiv:1101.1800 [math.CA].

Pautan luar

(Inggeris) .999999… = 1? daripada cut-the-knot
(Inggeris) Mengapakah 0.9999… = 1 ?
(Inggeris) Tanya Saintis: Perpuluhan Berulang Diarkibkan 2015-02-26 di Wayback Machine
(Inggeris) Bukti persamaan berdasarkan aritmetik
(Inggeris) Sembilan Berulang
(Inggeris) Perpuluhan 9 berulang bersamaan dengan satu
(Inggeris) Kajian David Tall
(Inggeris) Teori 0.999... di Metamath
(Inggeris) 9.999... sebab mengapa 0.999... = 1 oleh Vi Hart

[1] Hujah ini didapati dalam Peressini dan Peressini m/s 186. William Byers menyatakan bahawa pelajar yang bersetuju bahawa 0.999... = 1 disebabkan bukti-bukti di atas, tetapi masih belum memahami ketaksaannya, tidak benar-benar memahami persamaan tersebut (Byers m/s 39–41). Fred Richman berhujah bahawa argumen pertama mudah dipercayai kerana "kebanyakan orang telah diindoktrinasikan untuk menerima persamaan pertama tanpa berfikir" (m/s 396)

[2] Rudin m/s.61, Theorem 3.26; J. Stewart m/s. 706

[3] Euler m/s. 170

[4] Grattan-Guinness m/s 69; Bonnycastle m/s 177

[5] Contohnya, J. Stewart m/s 706, Rudin m/s 61, Protter dan Morrey m/s 213, Pugh m/s 180, J.B. Conway m/s 31

[6] Bagi contoh, had yang berikut mengikuti Rudin m/s 57, Theorem 3.20e. Bagi pendekatan yang lebih terus, lihat juga Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals edisi 10, Addison-Wesley, New York. Seksyen 8.1, contoh 2(a), contoh 6(b).

[7] Petikan bahasa Inggeris asal ialah:
The University Arithmetic (Davies m/s 175): ".999 +, continued to infinity = 1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1"

Arithmetic for Schools (Smith dan Harrington m/s 115): "...when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999... becomes inconceivably small"

[8] The University Arithmetic (Davies m/s 175): ".999 +, continued to infinity = 1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1"

[9] Arithmetic for Schools (Smith dan Harrington m/s 115): "...when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999... becomes inconceivably small"

[8] Beals m/s 22; I. Stewart m/s 34

[9] Bartle dan Sherbert m/s 60–62; Pedrick m/s 29; Sohrab m/s 46

[10] Apostol m/s 9, 11–12; Beals m/s 22; Rosenlicht m/s 27

[11] Petikan bahasa Inggeris asal: "The fact that a real number might have two different decimal representations is merely a reflection of the fact that two different sets of real numbers can have the same supremum." (Apostol m/s 12)

[12] Ini dinyatakan oleh Griffiths dan Hilton (m/s xiv) pada 1970 dan sekali lagi oleh Pugh (m/s 10) pada 2001; kedua-dua mereka lebih menggemari potongan Dedekind daripada aksiom. Bagi penggunaan potongan dalam buku-buku teks, lihat Pugh m/s 17 atau Rudin m/s 17. Bagi pandangan berkenaan logik, Pugh m/s 10, Rudin m/s ix, atau Munkres m/s 30

[13] Enderton (m/s 113) mengesahkan takrifan ini: "Konsep di sebalik potongan Dedekind ialah satu nombor nyata x boleh dinamakan dengan memberikan satu set tidak terhingga nombor nisbah, iaitu semua nombor nisbah kurang daripada x. Dengan itu, kita boleh menakrif x sebagai set angka nisbah tersebut yang kurang daripada x. Untuk mengelakkan takrifan ini menjadi tidak munasabah, kita perlu boleh mencirikan set-set nombor nisbah yang boleh didapati dengan cara ini..."

[14] Rudin m/s 17–20, Richman m/s 399 atau Enderton m/s 119. Untuk lebih terperinci, Rudin, Richman dan Enderton masing-masing memanggil potongan ini 1*, 1^– dan 1_R; ketiga-tiga mengenalpastinya sebagai nombor nyata 1. Perhatikan yang apa yang Rudin dan Enderton namakan potongan Dedekind, dinamakan "potongan Dedekind bukan utama" oleh Richman.

[15] Richman m/s 399

[MacTutor2-16] O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (Oktober 2005). "History topic: The real numbers: Stevin to Hilbert". MacTutor History of Mathematics. Diarkibkan daripada yang asal pada 2007-09-29. Dicapai pada 2006-08-30. Unknown parameter |deadurl= ignored (bantuan)

[MathMag-17] "Is 0.999... = 1?".

[18] Richman

[19] Petikan bahasa Inggeris asal: "Why do that? Precisely to rule out the existence of distinct numbers 0.9* and 1. [...] So we see that in the traditional definition of the real numbers, the equation 0.9* = 1 is built in at the beginning." (Richman, m/s 398–399)

[20] Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences" m/s 386

[21] Griffiths & Hilton m/s 388, 393

[22] Griffiths & Hilton m/s 395

[23] Liangpan Li (Mac 2011). "A new approach to the real numbers". arXiv:1101.1800 [math.CA].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]