Fermatgetal

Een Fermatgetal, vernoemd naar de Franse wiskundige, Pierre de Fermat, is een natuurlijk getal van de vorm

F_{n}:=2^{(2^{n})}+1,

Fermat vermoedde dat elk Fermatgetal een priemgetal is. Zijn vermoeden is onjuist gebleken, maar klopt wel voor de eerste vijf Fermatgetallen:

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

Bovendien is andersom wel waar dat als een getal van de vorm $2^{m}+1$ een priemgetal is, dat dan $m$ een macht van 2 moet zijn.

F₅ is al geen priemgetal meer, zoals Euler in 1732 ontdekte.

Ook een aantal volgende Fermatgetallen is inmiddels gefactoriseerd:

F₅ = 641 · 6700417

F₆ = 274177 · 67280421310721

F₇ = 59649589127497217 · 5704689200685129054721

F₈ = 1238926361552897 · P62

F₉ = 2424833 · 7455602825647884208337395736200454918783366342657 · P99

F₁₀ = 45592577 · 6487031809 · 4659775785220018543264560743076778192897 · P252

F₁₁ = 319489 · 974849 · 167988556341760475137 · 3560841906445833920513 · P564

(hierin staat P62 voor een priemgetal van 62 cijfers)

Van alle Fermatgetallen van F₅ tot en met F₃₂ (een getal van meer dan een miljard cijfers) is inmiddels bekend dat ze niet-priem zijn.

Zie ook