Fermatgetal

Een Fermatgetal is een getal van de vorm $2^{2^{n}}+1$ waarbij $n$ een willekeurig positief geheel getal is. De getallen zijn vernoemd naar de Franse wiskundige Pierre de Fermat die vermoedde (in feite zelfs beweerde bewezen te hebben) dat elk Fermatgetal een priemgetal is. Zijn vermoeden klopt inderdaad voor de eerste vijf Fermatgetallen:

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

Bovendien is andersom wel waar dat als een getal van de vorm $2^{m}+1$ een priemgetal is, dat dan $m$ een macht van 2 moet zijn.

Fermat bleek echter ongelijk te hebben: F₅ is al geen priemgetal meer, zoals Euler in 1732 ontdekte.

Ook een aantal volgende Fermatgetallen is inmiddels gefactoriseerd:

F₅ = 641 · 6700417

F₆ = 274177 · 67280421310721

F₇ = 59649589127497217 · 5704689200685129054721

F₈ = 1238926361552897 · P62

F₉ = 2424833 · 7455602825647884208337395736200454918783366342657 · P99

F₁₀ = 45592577 · 6487031809 · 4659775785220018543264560743076778192897 · P252

F₁₁ = 319489 · 974849 · 167988556341760475137 · 3560841906445833920513 · P564

(hierin staat P62 voor een priemgetal van 62 cijfers)

Van alle Fermatgetallen van F₅ tot en met F₃₂ (een getal van meer dan een miljard cijfers) is inmiddels bekend dat ze niet-priem zijn.

Externe link

• http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=FermatNumber