Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm (von) Leibniz, ook als Leibnitz gespeld (Leipzig, 1 juli 1646 – Hannover, 14 november 1716) was een veelzijdig Duits wiskundige, filosoof, logicus, natuurkundige, historicus, rechtsgeleerde en diplomaat en wordt beschouwd als een van de grootste denkers van de 17e eeuw. Hij ontwikkelde min of meer gelijktijdig met (maar onafhankelijk van) Isaac Newton een tak van de wiskunde die bekend staat als de 'calculus' (differentiaal- en integraalrekening). Wie van de twee het eerst was met deze belangrijke bijdrage aan de wiskunde, heeft tot een geweldige ruzie geleid tussen deze heren. Leibniz staat te boek als een voorloper van de Duitse Verlichting, de Aufklärung.

In de filosofie wordt hij gezien als rationalist. Hij wordt beschouwd als een optimist, dit naar aanleiding van zijn overtuiging dat het heelal, waarin wij leven, het beste universum is dat God kon scheppen. Zijn filosofie is niet alleen zuiver rationalistisch. Aan de ene kant diep geworteld in de Scholastiek, loopt zij aan de andere kant vooruit, en anticipeert op latere ontwikkelingen in logica, biologie, geologie, mijnbouw, waarschijnlijkheidsleer, linguïstiek en informatica. Daarnaast schreef hij ook over politiek, recht, ethiek, theologie, geschiedenis en filologie. Zijn bijdragen zijn verspreid over veel publicaties, niet gepubliceerde manuscripten en vooral in tienduizenden brieven. Tot op de huidige dag, 300 jaar na zijn dood, bestaat er geen complete editie van Leibniz' geschriften.

Biografie

Hij werd geboren in Leipzig. Zijn vader, Friedrich Leibnutz, was verbonden aan de filosofiefaculteit van de universiteit van Leipzig. Leibniz, die zijn naam veranderde, was nog maar zes toen zijn vader overleed. Maar op die leeftijd had de jonge Gottfried al een passie ontwikkeld voor lezen en studeren. Hij leerde Latijn en bestudeerde zijn vaders bibliotheek, die vol stond met Latijnse klassiekers, filosofische en religieuze werken.

In 1661, toen Leibniz 15 was, betrad hij de universiteit van Leipzig om filosofie te studeren. In de zomer van 1663 maakte hij kennis met elementaire algebra en Euclidische meetkunde op de universiteit van Jena. Hier begon hij zijn ideeën van een universeel 'alfabet van de menselijke gedachten' te ontwikkelen. Hierin probeerde hij menselijke gedachten vorm te geven door middel van een voor iedereen begrijpelijke tekentaal van symbolen.

Hij haalde zijn graad in 1664. Zijn dissertatie voor de graad van doctor in de rechten werd geweigerd. De reden daarvoor was waarschijnlijk vanwege zijn leeftijd, maar misschien waren er ook politieke problemen. Hierom verliet hij Leipzig en kreeg hij deze graad op twintigjarige leeftijd aan de universiteit van Altdorf in Neurenberg. Korte tijd was hij lid van een geheim alchemistisch gezelschap. Maar al snel maakte hij hun experimenten belachelijk.

Hierna kwam hij in dienst van de keurvorst van Mainz. Gedurende de rest van zijn leven bekleedde hij verscheidene belangrijke posities in Hannover, Braunschweig en Wenen.

Leibniz streefde zijn hele leven naar harmonie op zoveel mogelijk fronten. Behalve zijn monadenleer en zijn tekentaal trachtte hij tevens zoveel mogelijk wetenschappers tot samenwerking te bewegen. Hij stichtte (min of meer) de Berlijnse Academie van Wetenschappen en ondernam ook pogingen om alle christelijke kerken nader tot elkaar te brengen.

In 1672 bouwde hij een mechanische rekenmachine. (In 1623 had Wilhelm Schickard de eerste mechanische rekenmachine gebouwd, waarmee men kon optellen en aftrekken.) Vanaf 1676 tot aan zijn dood was Leibniz bibliothecaris van Hannover. In 1682 richtte hij samen met Otto Mencke het wetenschappelijke tijdschrift Acta Eruditorum op, dat in die tijd naast het Journal des Savants een ruime verspreiding kende. De meeste van zijn artikelen werden dan ook in de Acta Eruditorum gepubliceerd.

Filosoof

Monaden

Zijn leven lang zocht Leibniz naar een allesomvattende synthese voor wetenschap en filosofie. In 1714 publiceerde hij zijn werk La Monadologie, waarin hij stelde dat alles bestaat uit ontelbare eenheden of krachtpunten van verschillende bewustzijnsgraad die hij monaden noemde, de individuele eigenschappen die het verleden, heden en toekomst van elk ding zouden bepalen. Hoewel de monaden onafhankelijk van elkaar waren, was hun interactie voorspelbaar. Voor hem betekende dat dat christelijk geloof en wetenschappelijke redenering niet met elkaar in tegenspraak hoeven te zijn. Hij ging uit van een tevoren door God vastgelegde orde (van de monaden) en gaf dit principe de naam harmonia praestabilita, waarmee zou zijn aangetoond dat de wereld zoals die is, de best mogelijke van alle werelden is. Deze visie werd later op de korrel genomen door Voltaire in zijn roman Candide ou l'optimisme.

Logica

Wiskundige

Begeleiding door Huygens

In 1672 vertrok Leibniz naar Parijs. Op dit moment was zijn wiskundige kennis beperkt tot de Oude-Grieken. Christiaan Huygens begeleidde Leibniz in zijn studies en vertelde hem welke eigentijdse problemen hij moest bestuderen. Hij verkreeg ongepubliceerde manuscripten van Blaise Pascal en van René Descartes. Huygens vroeg hem de som S van de omgekeerde driehoeksgetallen uit te rekenen. Leibniz loste het probleem op door de reeks door twee te delen:

{\frac {S}{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}.

Hij zag dat dit gelijk was aan

{\frac {S}{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}},

die we tegenwoordig een telescopische reeks noemen. Leibniz concludeerde dat $S=2$ .

Leibniz werd erg handig in het berekenen van oneindige sommen met zijn harmonische driehoek. Dit geeft zijn interesse in sommen en verschillen aan, die hij later bij zijn calculus zou gebruiken.

Convergentiecriterium

Leibniz vond het naar hem genoemde Leibniz-criterium voor de convergentie van oneindige alternerende rijen. Hieruit volgt in het bijzonder de convergentie van de zogenaamde Leibniz-rij

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\dots

waarvan de som ${\frac {\pi }{4}}$ is.

Formule van Leibniz

De Formule van Leibniz is een wiskundige formule om partiële afleiding onder de integraal te brengen.

Leibnitz ontwikkelde in 1674 de onderstaande formule om het getal pi ( ${\pi }$ ) te benaderen of uit te rekenen.^[1]

${\frac {\pi }{4}}=\arctan(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots$

Binair getalstelsel

Leibniz ontwikkelde ook het binaire getalstelsel met de cijfers 0 en 1, die voor de moderne informatietechnologie van fundamentele betekenis is.

Rekenmachine

In 1672 bouwde Leibniz een rekenmachine, die kon vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. Zijn methode voor mechanisch vermenigvuldigen hield tweehonderd jaar stand. Het is de vraag, of Leibniz' oorspronkelijke machine foutloos werkte, gezien de grote fijnmechanische problemen.

Logica

Liebniz is de grondlegger van de logische formalisme. Hij kende als geen ander de effectiviteit van de objectieve wiskunde en hij probeerde een manier te vinden om het wiskundige methodiek te gebruiken om conflicten te beslechten. Hij vatte een redenering of argumentatie op als een berekening. Hij ontwierp een objectieve symbolische taal waarin je een redenering kon opzetten. De gewone natuurlijke taal was ongeschikt omdat deze niet exact is en onderhevig is aan subjectieve interpretatie. Hierdoor is het ook vaak zelf de oorzaak van het conflict. Een objectieve wiskundetaal laat het toe om rekenregels te ontwerpen waarmee het mogelijk is het gelijk of ongelijk van een argumentatie te berekenen. Leibniz' ideeën waren heel vooruitstrevend voor zijn tijd maar zijn logische formalisme was nog verre van compleet. Pas een kleine tweehonderd jaar later ontwierp George Boole het eerste volledige logische formalisme voor de propositielogica.

Calculus

Ontwikkeling

In 1673 bezocht Leibniz Londen. Hij bracht zijn model voor een rekenmachine mee. Hij werd gekozen als lid van de Royal Society, waar Newton vooraanstaand lid van was. Hij zag hij een aantal van Newtons manuscripten en was erg onder indruk. Later zou dit voor de Engelsen een reden vormen om Leibniz van plagiaat te beschuldigen. Het is mogelijk dat hij Newtons De Analysi gezien heeft, maar het is onwaarschijnlijk dat Leibniz hier veel aan heeft gehad, vanwege zijn gebrekkige kennis van de meetkunde en de analyse. Hij praatte met een aantal belangrijke personen, zoals Robert Boyle, Robert Hooke en John Pell. Pell wees Leibniz op zijn gebrekkige wiskundige kennis.

Leibniz ging terug naar Parijs om hogere meetkunde te bestuderen met hulp van Huygens. Nog in 1673 ontwikkelde hij zijn algemene methode om hellingen te berekenen. De drie volgende jaren maakte Leibniz een enorme wiskundige ontwikkeling door en ontdekte hij de fundamentele principes van de calculus.

Leibniz' resultaten op het gebied van sommen en verschillen waren niet nieuw. Omdat veel van zijn kennis door zelfstudie was verkregen, herontdekte hij vaak reeds bestaande wiskunde. Het originele van Leibniz was, dat hij sommen en verschillen in de meetkunde bij krommes onderzocht. Een kromme legde hij uit als een veelhoek met oneindig veel zijden.

De verschillen werden nu oneindig klein: de zogenaamde differentialen. Voor het verschil gebruikte hij het symbool d (van differentia) en voor de som het symbool $\int$ dat een gotische s (van summa) voorstelt. Analoog aan de discrete sommen volgt dat

\int dy=y

Maar een oneindige sommatie van eindige termen $\int y$ kan heel goed oneindig zijn. Daarom vermenigvuldigde Leibniz y met dx. Hij verkreeg zo de oneindig kleine oppervlakte y dx, die wel weer gewoon geïntegreerd kan worden. Merk op dat Leibniz in staat was dx, dy of de 'zijde van de veelhoek' ds constant te kiezen. Leibniz ontwikkelde de calculus vanuit het idee dat som en verschil tegengestelde operaties zijn. Daarom is de geldigheid van de hoofdstelling van de integraalrekening 'evident' - daar is het allemaal mee begonnen. Net als Newton was Leibniz meer geïnteresseerd in het oplossen van differentiaalvergelijkingen dan in het vinden van oppervlakten.

Publicatie

Leibniz was ongerust over zijn gebruik van infinitesimalen. Omdat dit begrip niet goed gedefiniëerd was, wist hij dat het veel kritiek op zou roepen. Daarom voerde hij in de eerste publicatie van de calculus dx in als een willekeurig eindig lijnsegment. Hij publiceerde dit artikel in 1684 in de Acta Eruditorum, een wetenschappelijk tijdschrift dat hij zelf had opgericht. Het draagt de lange titel Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque tangentibus, qua nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus (= Nieuwe methode voor maxima, minima en raaklijnen die niet gehinderd wordt door breuken of irrationale grootheden en een bijzondere rekenmethode daarvoor.).

Leibniz begon met het definiëren van de gebruikte symbolen. dx en dv zijn lijnsegmenten die dezelfde verhouding hebben als x en v. Leibniz beweerde niet dat deze grootheden infinitesimaal zijn. Vervolgens gaf hij een aantal regels van de calculus, waaronder de productregel en de quotiëntregel. Hij legde uit wat het inhoudt als dx nul of oneindig is, en wat de tweede afgeleide d(dx) voorstelt. Hierna stelde Leibniz dat

dx^{a}=ax^{a-1}\;dx

als a constant wordt gekozen. Hij gaf voorbeelden van deze regel met onder meer gebroken en negatieve exponenten en concludeerde:

Met het algoritme van deze calculus - die men differentiaalrekening mag noemen - kunnen alle differentiaalvergelijkingen volgens dezelfde methode worden opgelost.

Dit bleek te optimistisch. Vervolgens legde hij uit dat zijn methode bijzonder gemakkelijk is en algemener dan andere methoden. Leibniz introduceerde de term transcendentaal. Hij liet zien dat een kromme kan worden opgevat als een veelhoek van oneindig veel zijden. De zijden zijn dan de differentialen dv. Hij introduceerde zijn notatie . voor vermenigvuldiging, die nog steeds veel gebruikt wordt. Verder toonde hij in dit artikel hoe hij met zijn methode de formule kon afleiden voor de breking van licht.

Leibniz presenteerde het artikel op een opmerkelijke manier, die nu niet meer acceptabel zou zijn in een wetenschappelijke publicatie. Aan het begin gaf hij een lijst met regels voor zijn differentiaalrekening. Hij bewees geen van deze regels, omdat hij zijn gebruik van infinitesimalen niet kon rechtvaardigen. In plaats daarvan gaf hij een aantal voorbeelden om te laten zien dat zijn methode prettig en gemakkelijk werkt. Hij 'verkocht' zijn nieuwe techniek door lastige problemen op te lossen. Pas in de 19e eeuw, nadat de toepasbaarheid in de natuurkunde al ruimschoots aangetoond was, zou de calculus streng gedefinieerd worden, met name door de Duitse wiskundige Karl Weierstrass.

Natuurkunde

Leibniz uitte kritiek op de mechanica van Newton, omdat daarin de absolute ruimte van Aristoteles behouden was. Leibniz hing een relativiteitsbegrip aan, waarin posities betrekkelijk zijn. Pas aan het eind van de 19e eeuw keerde deze discussie terug naar aanleiding van de Maxwell-theorie, die uitmondde in de relativiteitstheorieën van Einstein.

Publicaties

Wijsbegeerte

1673: Confessio philosophi
1686: Discours de métaphysique
1704: Nouveaux Essais sur l'entendement humain
1710: Essais de théodicée
1714: Principes de la Nature et de la Grace fondés en Raison - Monadologie

Wiskunde

1666: De Arte Combinatoria
1684: Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque tangentibus, qua nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus in de Acta Eruditorum (vertaling in Struik, D. J., 1969. A Source Book in Mathematics, 1200-1800. Harvard Uni. Press: 271-81.
1703/1705: Explication de l'Arithmétique Binaire, Memoires de l'Academie Royale

Natuurkunde

1671: Hypothesis Physica Nova

Tekstuitgaven

Gottfried Wilhelm Leibniz Sämtliche Schriften und Briefe, hg. von der Preussischen (jetzt Deutschen) Akademie der Wissenschaften, 1923- Informationen und teils Voreditionen online

Die philosophischen Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz, hg. C. I. Gerhardt, 7 Bde., 1875-1890 (ook herdrukken).
Leibnizens mathematische Schriften, hg. C. I. Gerhardt, 7 delen, 1849-1863.
Opuscules et fragments inédits de Leibniz, editeur Louis Couturat, 1903.
Textes Inédits, hg. Gaston Grua. Paris: Presses Universitaires de France, 1948.
Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum, vertaling en commentaar van Franz Schupp, Hamburg 1982, ISBN 3-7873-0533-5
Ermahnung an die Deutschen. Von deutscher Sprachpflege. Repro herdruk van de uitgave Leipzig 1916. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1967 (Libelli 216)

Vertalingen

Allgemeine Untersuchungen über die Analyse der Begriffe und Wahrheiten. Lat.-dt., übers. v. Franz Schupp, 2. Aufl. Meiner, Hamburg 1993. ISBN 978-3-7873-1142-2
Specimen Dynamicum. Lat.-dt., übers. u. hrsg. v. Hans Günter Dosch, Glenn W. Most u. Enno Rudolph. Meiner, Hamburg 1982. ISBN 978-3-7873-0534-6
Philosophische Werke. Übers. v. Artur Buchenau u. Ernst Cassirer, 4 Bde. Meiner, Hamburg 1996. ISBN 978-3-7873-1164-4
Die Grundlagen des logischen Kalküls. Lat.-dt., übers. u. hrsg. v. Franz Schupp u. Stephanie Weber. Meiner, Hamburg 2000. ISBN 978-3-7873-1601-4
Monadologie und andere metaphysische Schriften. Franz.-dt., übers. u. hrsg. v. Ulrich Johannes Schneider. Meiner, Hamburg 2002. ISBN 978-3-7873-1606-9
Frühe Schriften zum Naturrecht. Lat.-dt., unter Mitwirkung von Hans Zimmermann übers. u. hrsg. v. Hubertus Busche. Meiner, Hamburg 2003. ISBN 978-3-7873-1622-9

Leibniz: Philosophische Schriften, hg. Hans Heinz Holz. 4 Bände. Frankfurt/Main: suhrkamp 1986, Neuausgabe 1996.
Leibniz: Philosophische Schriften und Briefe: 1683 - 1687, hg. Ursula Goldenbaum. Berlin 1992.
Leibniz: Frühe Schriften zum Naturrecht, lat./dt., Phil.Bibl.Bd.543 (ISBN 3-7873-1622-1)
Philosophical Essays. Edited and translated by Roger Ariew and Daniel Garber. Indianapolis: Hackett, 1989.
Philosophical Papers and Letters, hg. Leroy Loemker, 2. A. Dordrecht: Reidel, 1969.
Philosophical Writings. Translated and edited by Mary Morris and G.H.R. Parkinson. London: Dent, 1973.
Leibniz: Logical Papers. Translated and edited by G.H.R. Parkinson. Oxford: Oxford UP, 1966.
Monadology and Other Philosophical Essays. Translated and edited by Paul Schrecker and Anne Martin Schrecker. New York: Bobbs-Merrill Co., 1965.
Leibniz: Selections. Edited by Philip P. Wiener. New York: Charles Scribner's Sons, 1951.
Philosophical Texts. Edited and translated by R. S. Woolhouse and Richard Francks. With introduction and notes by R. S. Woolhouse, OUP 1998, ISBN 0-19-875153-2

Literatuur (o.a.)

(en) Maria Rosa Antognazza Leibniz - An Intellectual Biography, uitg. Cambridge University Press, Cambridge (2008) ISBN 978-0-521-80619-0

Ruzie over prioriteit ontdekking calculus

Hall, A. R., 1980. Philosophers at War: The Quarrel between Newton and Leibniz. Cambridge Univ. Press.

Voetnoten

↑ bron

Zie de categorie Gottfried Leibniz van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

[1] ron

[1]