Irreducibel

In de wiskunde heet een object irreducibel als het niet kan worden samengesteld uit eenvoudiger onderdelen. Dit is te vaag om als definitie te gelden, maar in de verschillende deelgebieden van de wiskunde bestaan precieze definities voor irreducibele objecten. De rest van dit artikel behandelt irreducibele elementen van een commutatieve ring met een neutraal element voor de vermenigvuldiging. Dat is in de algebra de meest gangbare versie van het begrip "irreducibel". Een ander soort irreducibiliteit treedt op in de representatietheorie.

Definitie

Zij $R$ een commutatieve ring met een neutraal element 1 voor de vermenigvuldiging. Een element $x$ in $R$ heet irreducibel, als het niet als het product van twee andere elementen kan worden geschreven, tenzij een van die twee elementen een eenheid, dat wil zeggen een inverteerbaar element is:

$\forall a,b\in R:a\cdot b=x\implies \exists c\in R:\ a\cdot c=1\ {\hbox{ of }}\ b\cdot c=1$.

Voorbeelden

• De priemgetallen en hun tegengestelde, evenals de getallen 1 en -1, zijn in de ring $\mathbb {Z}$ van de gehele getallen irreducibel.
• Eenheden zijn volgens bovenstaande definitie altijd irreducibel. In sommige handboeken worden ze daarom uitdrukkelijk uitgesloten.
• Tweedegraadspolynomen in een variabele met een discriminant die kleiner is dan 0 zijn volgens de wortelformule in de ring $\mathbb {R} [X]$ van de reële polynomen irreducibel.
• Het criterium van Eisenstein geeft voorwaarden voor een polynoom $f$, dat wanneer $f$ daaraan voldoet, $f$ irreducibel is.
• In de ring $\mathbb {C} [X]$ van de complexe polynomen in een variabele hebben alle polynomen van de graad groter dan nul volgens de hoofdstelling van de algebra een nulpunt in het complexe vlak. Dat betekent dat er geen polynomen in $\mathbb {C} [X]$ zijn, waarvan de graad groter dan een is, die irreducibel zijn.

Zie ook

• Factorisatie