Jønsson speelde in de jeugd van Lyseng, voor hij in de opleiding van Aarhus terechtkwam. Hier speelde hij zijn eerste professionele wedstrijd op 4 december 2011, toen in de Superligaen met 0–0 gelijkgespeeld werd tegen FC Kopenhagen. Jønsson begon als reservespeler aan het duel en mocht van coach Peter Sørensen een minuut voor tijd invallen voor Hjalte Bo Nørregaard.[1]Konyaspor haalde de middenvelder medio 2016 naar Turkije.[2] In zijn eerste seizoen won hij met zijn club het bekertoernooi. In de zomer van 2020 werd de Deen transfervrij overgenomen door Cádiz, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van twee seizoenen, met een optie op een jaar extra.[3] Deze optie werd niet gelicht en in de zomer van 2022 liep Jønsson uit contract. Hierop tekende hij voor vier seizoenen bij AEK Athene.[4]