Verschil (wiskunde)

Verschil (rood) (relatief complement) van twee verzamelingen

Symmetrisch verschil (rood) van twee verzamelingen

de verschilvector $a-b$ (zwart) van de vectoren $a$ en $b$

In de rekenkunde, die een onderdeel vormt van de wiskunde, verstaat men onder het verschil van twee getallen, bijvoorbeeld $5$ en $10$, de twee mogelijke resultaten van de aftrekking van de beide getallen van elkaar: $10-5=5$, respectievelijk $5-10=-5$. In de bredere wiskunde kent het begrip meerdere toepassingen.

Verzamelingenleer

In de verzamelingenleer is het verschil van de verzameling $A$ en de verzameling $B$, genoteerd als $A\setminus B$ of $A-B$, zelf ook weer een verzameling, namelijk de verzameling die de elementen bevat die wel in $A$ maar niet in $B$ zitten. Men zegt ook $A$ met daaruit weggelaten $B$. In formule:

$A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}$

Als, bijvoorbeeld, $A=\{1,2,3,4\}$ en $B=\{1,3,2\}$, dan is het verschil van $A$ en $B$ de verzameling $A\setminus B=\{4\}$. De verschilverzameling $A\setminus B$ is een deelverzameling van $A$. Zoals in de rekenkunde het verschil van twee identieke getallen gelijk aan nul is: $10-10=0$, is het verschil van een verzameling met zichzelf, gelijk aan de zogenaamde lege verzameling: $A\setminus A=\emptyset$.

Met het symmetrisch verschil $A\Delta B$ wordt in de verzamelingenleer de verzameling aangeduid van elementen die wel in de vereniging $A\cup B$ van $A$ en $B$ zitten, maar niet in de doorsnede $A\cap B$. Er geldt dus:

$A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$

Algebra

In wiskundige structuren, bijvoorbeeld groepen waarin een optelling tussen elementen gedefinieerd is, en er bij elk element $a$ een tegengestelde $-a$ bestaat, zodat $a+(-a)=0$, wordt de som $b+(-a)$ ook geschreven als $b-a$, en aangeduid als het verschil van de elementen $b$ en $a$.

Andere wiskundige toepassingen

Het begrip 'verschil' wordt in de wiskunde ook gebruikt bij het van elkaar aftrekken van complexe getallen, vectoren, polynomen, matrices.