Partiell derivasjon

Tangentar parallelt med x og y-aksen

Partiell derivasjon er ein operasjon i matematikk for å finne den partiellderiverte til ein fleirvariabel funksjon, som er funksjonens deriverte med omsyn på ein variabel, mens dei andre blir halden konstant.

Notasjonen for den partiellderiverte for ein funksjon $f$ med variablane $x,y...$ med omsyn på $x$ skriv ein som oftast på forma

${\partial \over \partial x}f\ eller\ {\partial f \over \partial x},$

men ein også skriva han som $f_{1},f_{x},f'_{x},\partial _{x}f,D_{1}f\ eller\ D_{x}f$. Ein les "den partiellderiverte av $f$ med omsyn på $x$".

∂, ein stilisert kursiv d, blir brukt for å visa til partiellderiverte og skil det frå deriverte av einvariable funksjonar, ${dy \over dx}$.

Den deriverte til ein einvariabla funksjon er stigningstalet til tangenten i punktet $x_{0}$. I ein funksjon med to variablar er det uendeleg mange tangentar i kvart punkt $(x_{0},y_{0})$, men som oftast er det tangentane parallellt til enten $x$ eller $y$-aksen som er av høgst interesse. Når ein partiellderiverer finn vi stigningstalet til ein av desse to tangentane.

Definisjon

R²

La $f:R^{2}\rightarrow R$ vere ein funksjon av to variablar, $x$ og $y$.

Den partiellderiverte til $f$ med omsyn på $x$ er definert som

${\partial f \over \partial x}(x,y)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x,y)-f(x,y) \over \Delta x}$,

dersom grenseverdien eksisterer.

Korresponderande er den pariellderiverte med omsyn på $y$ definert slik:

${\partial f \over \partial y}(x,y)=\lim _{\Delta y\to 0}{f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \over \Delta y}$

Rⁿ

Vi kan generalisere definisjonen i andredimensjon til å gjelde for alle dimensjonar

La $f:R^{n}\rightarrow R$ vere ein funksjon av $n$ variablar, $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

Vi definerer den partiellderiverte til $f$ med omsyn på $x_{k}$ slik:

${\partial f \over \partial x_{k}}(x_{1},...,x_{n})=\lim _{\Delta x_{k}\to 0}{f(x_{1},...,x_{k}+\Delta x_{k},...,x_{n})-f(x_{1},...,x_{n}) \over \Delta x_{k}}$

Kvar funksjon i $R^{n}$ har $n$ partiellderiverte; ein til kvar variabel.

Eksempel i R²

Vi har funksjonen $f:R^{2}\rightarrow R$

$f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}$

Når ein partiellderiverer med hensyn på ein variabel behandlar vi den andre som konstant. Dei to partiellderiverte til $f$ er dermed

${\begin{aligned}&{\partial f \over \partial x}(x,y)=2x+y\\&{\partial f \over \partial y}(x,y)=x-2y\end{aligned}}$

Stigningstalet til tangenten parallelt med $x$-aksen i punkt (1,1) er

${\partial f \over \partial x}(1,1)=2\cdot 1+1=3$

Tilsvarande har vi stigingstalet til tangenten parallelt med $y$-aksen:

${\partial f \over \partial y}(1,1)=1-2\cdot 1=-1$

Partiellderiverte av høgre orden

Slik som for funksjonar med ein variabel, kan vi definere partiellderiverte av høgre orden for funksjonar med fleire variablar. Dersom ein partiellderivert er deriverbar kan ein fortsette å derivere med omsyn på same eller ein anna variabel så langt det let seg gjere.

Deriverer vi ein førstepartiellderivert med same variabel finn vi den andrepartiellderiverte, og skriv følgjande notasjonar:

${\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial x}{\bigg )},{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}\quad eller\quad f_{11},f_{xx},\partial _{xx}f,\partial _{x}^{2}$

Deriverer vi med ein anna variabel får vi ein kryssa andrepartiellderivert

${\begin{aligned}&{\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial y}{\bigg )},{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}\quad eller\quad f_{12},f_{xy},\partial _{xy}f,\partial _{x}\partial _{y}f\\\end{aligned}}$

Symmetrien eller likskapen av andre partiellderiverte fastslår at rekkjefølgja for å oppnå ein kryssa andrepartiellderivert er likegyldig

${\begin{aligned}&{\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial y}{\bigg )}={\partial \over \partial y}{\bigg (}{\partial f \over \partial x}{\bigg )}\\&{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}\end{aligned}}$

Deriverer vi ein andrepartiellderivert får vi ein tredjepartiellderivert, og så vidare... Deriverer vi ein funksjon $n$-gongar med same variabel får vi n-te ordens partiellderivert

${\partial ^{n}f \over \partial x^{n}}$

Vi får ein n-te ordens kryssa partiellderivert dersom vi deriverer ein funksjon $n$ gongar med $m$ ulike variablar

${\begin{aligned}&{\partial ^{i+j+...+k}f \over \partial x_{1}^{i}\partial x_{2}^{j}\cdot ...\cdot \partial x_{m}^{k}}\\&n=i+j+...+k\end{aligned}}$

Sjå også

• Retningsderivert
• Gradient
• Hessematrisen