Wien si forskyvingslov

Intensiteten til svartlekamstråling som funksjon av bølgjelengd for forskjellige (absolutte) temperaturar. Wien si lov er ikkje opplagt på figuren, fordi den totale emisjonen inkluderer ein geometrisk faktor på 1/λ² som tel talet på fouriermodudsar av bølgjelengda λ, og ein annan faktor på 1/λ² for å omforma intensitetane per einingsfrekvens til intensitetar per einingsbølgjelengd

Wien si forskyvingslov seier at svartlekamkurven til alle temperaturar i røynda har same forma som kurven til alle andre temperaturar, bortsett frå at kvar bølgjelengd er forskyvd eller flytta over, slik som grafen til høgre syner. Den gjennomsnittlege varmeenergien i kvar mode med frekvens $\nu$ er berre avhengig av kombinasjonen ν/T. Omskrive med bølgjelengda λ = c/ν, får ein fordelinga til bølgjelengdene, som i kvart punkt er proporsjonal til 1/T.

Frå denne generelle lova har ein at det er eit inverst forhold mellom bølgjelengda til den maksimale emisjonen til ein svartlekam og temperaturen til lekamen når det er uttrykt som ein funksjon av bølgjelengd, og dette forholdet vert òg stundom kalla Wiens si forskyvingslov i mange lærebøker.

$\lambda _{\mathrm {maks} }={\frac {b}{T}}$

der λ_maks er den maksimale bølgjelengda i meter, T er temperaturen til svartlekamen i kelvin (K), og b er ein proporsjonalitetskonstant kalla Wien sin forskyvingskonstant, lik 2.8977685(51)×10⁻³ m·K (2002 anbefalt verdi frå CODATA)

Dei to sifra mellom parantesane viser til utryggleik (standardavvik med ein konfidensgrad på 68,27%) i dei to siste signifikante sifra i mantissen.

For bølgjelengder nær det synlege spektrumet er det ofte meir nyttig å nytte nanometer i staden for meter som måleining. I dette tilfellet vert b = 2 897 768.5(51) nm·K.

Innan plasmafysikk der det er meir nyttig å måle temperaturane i elektronvolt, vert proporsjonalitetskonstanten b = 249.71066 nm·eV.

Forklaring og vanleg tilnærmingsmetode

Lova er kalla opp etter Wilhelm Wien, som kom fram til ho i 1893 basert på eit termodynamisk argument. Wien såg på adiabatisk, eller treig, utviding av eit holrom som inneheld lysbølgjer i termal likevekt. Han synte at under sein ekspansjon eller samantrekking så vil energien i lyset reflektere i veggane endre seg på eksakt same måte som frekvensen endra seg. Eit generelt prinsipp innan termodynamikk er at ein termal likevektstilstand, ved særs sein utviding, held seg i termal likevekt. Det adiabatiske prinsippet gjorde at Wien kunne konkludere at for kvar mode, så er den adiabatisk invariante energien/frekvensen berre ein funksjon av andre adiabatiske invariante, frekvensen/temperaturen.

Max Planck kom fram til ein ny konstant nær knytt til Wien-konstanten b som ein ny universalkonstant, som knyt frekvensen til lyset til energien i ein lyskvant.

Wien si forskyvingslov seier i praksis at jo varmare ein lekam er, jo kortare er bølgjelengda som han vil emittere det meste av strålinga si, samt at ein finn frekvensen til den maksimale strålingskrafta ved å dividere Wien-konstanten med temperaturen i kelvin.

Døme:

• Lys frå sola og månen. Overflatetemperaturen (eller meir korrekt den effektive temperaturen) til sola er 5778 K. Ved å nytte lova til Wien samsvarar denne temperaturen med ein maksimal emisjon ved ei bølgjelengd på 2,89777 million nm K/ 5778 K = 502 nm = om lag 5000 Å. Denne bølgjelengda er om lag midt i den mest sensitive delen av det skarpe synsspekteret til dei fleste landdyr. Sjølv nattdyr må sanse lys når sola går ned og månelys, som er reflektert sollys med same bølgjelengdfordeling. Den gjennomsnittlege bølgjelengda for maksimal emisjon til stjernelys er i den same regionen, sidan sola ligg midt i den vanlege temperaturfordelinga til stjernene.

• Lys frå lyspærer og eld. Ei lyspæra har ein glødetråd med ein noko lågare temperatur, noko som fører til gult lys. Stundom kan dei vere «glødande raude» med enno litt lågare temperatur. Det er lett å rekne ut at ein skogbrann på 1500 K har ein maksimal stråling på 3 million nm K /1500 K = 2000 nm = 20 000 Å. Dette er langt meir energi i den infraraude delen av spekteret enn i den synlege delen, som endar ved om lag 7500 Å. Dermed er det meste av denne strålinga varmestråling.

• Stråling frå pattedyr og menneske. Pattedyr med temperatur kring 300 K emitterer ein maksimal stråling på 3000 μm K / 300 K = 10 μm, langt inn i det infraraude. Dette er derfor spekteret av infraraude bølgjelengder som giftslangar og passive IR-kamera ser.

• Bølgjelengda til strålinga frå Big Bang. Wien si forskyvingslov kan nyttast til svartlekamstrålinga som kjem av Big Bang. Wien si forskyvingslov er kring 3 mm K, og temperaturen til bakgrunnsstrålinga etter Big Bang er kring 3 K (eller 2,7 K), og bakgrunnsstrålinga frå himmelen er derfor størst ved 2.9 mm K / 2.7 K = like over 1 mm bølgjelengd, som er i mikrobølgjespekteret. Dette er ein nyttig tommelfingerregel for kvifor mikrobølgjeutstyr må vere sensitive til begge sider av dette frekvensbandet for å kunne gjere effektiv forsking på kosmisk bakgrunnsstråling.

Frekvensforma

Uttrykt i frekvens $\nu$ (i hertz), vert Wien si forskyvingslov:

$\nu _{maks}={\alpha \over h}kT\approx (5.879\times 10^{10}\ \mathrm {Hz/K} )\cdot T$

der α ≈ 2.821439... er ein konstant som kjem av den numeriske løysinga av maksimeringslikninga, k er boltzmannkonstanten, h er planckkonstanten og T er temperaturen (i kelvin).

Sidan spektrumet som kjem av plancklova har ei anna form i frekvensdomenet i forhold til bølgjelengddomenet, samsvarar ikkje plasseringa til maksimal emisjon med maksimal bølgjelengd som ein får ved å nytte det enkle forholdet mellom frekvens, bølgjelengd og lysfarten.

Utleiing

Wilhelm Wien var den første som kom fram til lova i 1893 ved å nytte lovene i termodynamikk på elektromagnetisk stråling.

Wien merka seg at under adiabatisk utviding endra energien til ein lysmode, frekvensen til moden og den totale temperaturen til lyset seg på same måte, så forholdet mellom dei er konstant. Dette impliserer at kvar mode i termal likevekt, den adiabatiske invariante energien/frekvensen skulle vere ein funksjon av den adiabatiske invariante frekvensen/temperaturen:

$u(k,T)/\nu =F(\nu /T)\,$.

Forma til F er i dag kjend som plancklova:

$F(\nu /T)={1 \over e^{h\nu /kT}-1}\approx e^{-h\nu /kT}\,$.

Wien gjetta seg fram til den tilnærma reine eksponentialforma som er Wien si fordelingslov, ei gyldig høgfrekvent tilnærming til plancklova. Uansett kva funksjonen $F$ er, er plasseringa til toppen av fordelinga som ein funksjon av frekvensen strengt proporsjonal til $T$.

For å få det vanlege uttrykket for svartlekamkurven må energien per mode multipliserast med taltettleiken av modar med ein viss frekvens $\nu$:

$d^{3}k=4\pi |k|^{2}d|k|\propto \nu ^{2}d\nu$

så denne taltettleiken er proporsjonal til frekvensen kvadrert. Den totale energien per frekvens legg $\nu ^{2}$-modane saman for å gje den totale energien med frekvensen $\nu$:

$u(\nu ,T)\propto \nu ^{3}F(\nu /T)$.

Denne per-eining-frekvensen uttrykket for tettleiken kan omformast til ein per-eining-bølgjelengd-tettleik ved å endre variablane:

$u(\nu ,T)d\nu =u(\lambda ,T)d\lambda \,$,

og sidan $\nu =c/\lambda$, legg dette til ein faktor på ${d\nu \over d\lambda }={c \over \lambda ^{2}}$:

$u(\lambda ,T)\propto {1 \over \lambda ^{5}}F(c/\lambda T)\,$.

Desse forskjellige variablane berre innfører ei potenslov føre funksjonen F. For ein vilkårleg funksjon U på forma:

$U(x)=x^{a}F(x/T)\,$

vert plasseringa av maksimumet eller minimumet til U der den deriverte er null:

$0={dU \over dx}=ax^{a-1}F(x/T)+{x^{a} \over T}F'(x/T)$.

Om ein dividerer heile uttrykket med $x^{a-1}$, får ein likninga:

$aF(x/T)+{x \over T}F'(x/T)=0$,

som er ei likning for $x/T$, slik at minimumet eller maksimumet til $U$ er ein endeleg verdi av $x/T$, ved ein $x$ som alltid er strengt proporsjonal til $T$. Dette er den maksimale forskyvingslova: Plasseringa av toppen er proporsjonal til temperaturen uansett om tettleiken vert uttrykket som bølgjetal, frekvens, som (1/frekvens), eller andre ledd i andre variablar der intensiteten berre vert multiplisert av ein potens av denne variabelen.

Den eksakte numeriske plasseringa til toppen av fordelinga er avhengig av om fordelinga vert rekna som eit per-mode-tal, per-einings-frekvens eller per-einings-bølgjelengd, sidan potenslova føre F er forskjellig for dei forskjellige formene.

For å finne den faktiske konstanten i den maksimale forskyvingslova, nyttar ein plancklova for spektrumet til svartlekamstråling:

$u(\lambda ,T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}$.

Ved å derivere $u(\lambda ,T)$ med omsyn til $\lambda$ og setje den deriverte lik null, får ein

${\partial u \over \partial \lambda }=8\pi hc\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0$

som kan forenklast til

${hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0$.

Om ein definerer den dimensjonslause storleiken $x$ som

$x\equiv {hc \over \lambda kT}$

vert likninga over

${xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0$.

Den numeriske løysinga til denne likninga er

$x=4.965114231744276\ldots$

Ved å løyse for bølgjelengda $\lambda$ med eininga nanometer, og nytte kelvin for temperaturen, får ein

$\lambda _{maks}={hc \over x}{1 \over kT}={2.89776829\ldots \times 10^{6}\ \mathrm {nm\cdot K} \over T}$.

Frekvensforma av Wien si forskyvingslov får ein på liknande måte, men starta med plancklova uttrykt med frekvens i staden for bølgjelengd. Det effektive resultatet er å skifte ut 3 med 5 i likninga for maksimal bølgjelengd. Dette vert løyst med x = 2,82143937212...

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Wien's displacement law» frå Wikipedia på engelsk, den 3. desember 2009.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:
  • B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision," Am. J. Phys. 67 (11), 946-953 1999.
  • M. A. Heald, "Where is the 'Wien peak'?", Am. J. Phys. 71 (12), 1322-1323 2003.

Bakgrunnsstoff

• Eric Weisstein's World of Physics