Variansanalyse

Variansanalyse (ANOVA, fra det engelske «analysis of variance») er en fellesbetegnelse for en rekke statistiske metoder for å teste likhet mellom to eller flere utvalg, der én eller flere faktorer gjør seg gjeldende. Variansanalyse er i de enkle tilfellene et alternativ til Z/t-testene for å sammenligne gjennomsnitt i populasjoner.

De to grunnleggende formene for variansanalyse beskrives gjerne som 'enveis' og 'toveis' variansanalyse. I enveistilfellet hensyntar man kun én egenskap som varierer mellom gruppene, i toveistilfellet hensyntar man i tillegg egenskaper som varierer mellom individene i gruppene.

Variansanalyse med én faktor

Det enkleste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der man har $I$ grupper med like størrelser $J$, og ønsker å sammenligne gjennomsnittene til gruppene. Den brukes gjerne der man ønsker å sammenligne forskjeller i respons på forskjellige behandlinger (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen man tester er for et antall populasjoner $I$

1. $H_{0}:\ \mu _{1}=\mu _{2}=\dots =\mu _{I}$
2. $H_{A}:$ minst to av gruppene er forskjellige.

Forutsetningene for testen er at alle observasjonene er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

Kvadratavvik og varians

De fundamentale størrelsene i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), kvadratavvik mellom individ og gruppe (SSE) og kvadratavvik mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Disse er definert ved
$SST=\sum _{i}\sum _{j}(x_{ij}-{\overline {x}}_{..})^{2}=\sum _{i}\sum _{j}x_{ij}^{2}-{\frac {x_{..}^{2}}{IJ}}$
$SSTr=\sum _{i}\sum _{j}({\overline {x}}_{i.}-{\overline {x}}_{..})^{2}={\frac {\sum _{i}X_{i.}^{2}}{J}}-{\frac {x_{..}^{2}}{IJ}}$
$SSE=\sum _{i}\sum _{j}(x_{ij}-{\overline {x}}_{i.})^{2}$

Sammenhengen mellom disse gir opphav til den fundamentale ANOVA-identiteten SST = SSTr + SSE. Videre har vi at
$MSTr={\frac {SSTr}{I-1}}$
$MSE={\frac {SSE}{I(J-1)}}$

Dette gir opphavet til det man kaller en ANOVA-tabell:

Variasjonskilde	Frihetsgrader	Kvadratavvik	Varians	f-verdi
Grupper	I - 1	SSTr	MSTr = SSTr/(I - 1)	MSTr/MSE
Error	I(J - 1)	SSE	MSE = SSE/[I(J - 1)]
Total	IJ - 1	SST

Test av nullhypotesen

For å teste nullhypotesen, bruker man ofte en f-test. Testobservatoren er gitt ved
$f={\frac {MSTr}{MSE}}$

som er tilnærmet $F_{I-1,I(J-1)}$-fordelt. Forkastningsområdet for $H_{0}$ er $f\geq F_{\alpha ,I-1,I(J-1)}$ for ønsket signifikansnivå $\alpha$

Tukeys prosedyre

F-testen er ment for å sammenligne gjennomsnittene i flere populasjoner, men den gir ikke svar på hvilke av populasjonene som er signifikant ulike hverandre. Tukeys prosedyre bruker en Q-fordeling til å beregne hvilke intervaller gjennomsnittene i populasjonen kan ligge i for å være signifikant like hverandre. For et signifikansnivå $\alpha$ definerer vi $w$ som

$w=Q_{\alpha ,I,I(J-1)}{\sqrt {MSE/J}}$

De gjennomsnittene som har større differanse enn $w$ er være signifikant ulike, med signifikansnivå $\alpha$

Relasjon til t-testen

For tilfellet med to populasjoner, vil variansanalyse og en alminnelig t-test gi samme resultat for hypotesen $H_{0}:\ \mu _{1}=\mu _{2}$ mot $H_{A}:\ \mu _{1}\neq \mu _{2}$. T-testen er mer fleksibel, da man og kan teste hvorvidt et gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn et annet.

For $I>2$ kan man i prinsippet også utføre t-tester for alle kombinasjoner av grupper, men dette vil gi større sannsynlighet for type 1-feil.

Kilder

• Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: Modern Mathematical Statistics with Applications. Thomson 2007.