Semiaxe major

En geometria, l'axe major d'une ellipsa es un paramètre que s'utiliza per descriure la dimension d'aquela conica.

a es lo semiaxe major, b lo semiaxe menor

Lo semiaxe major es la mitat de l'axe major.

Definicion

L'axe major d'una ellipsa es son pus grand diamètre, un segment que pòrta au còp lo centre e lei dos fòcus de l'ellipsa e qu'a per extremitats lei dos vertèx principaus. Lo semiaxe major jonh lo centre e un dei vertèx principaus de l'ellipsa.

Parierament, lo segment perpendicular a l'axe major, passant per lo centre e qu'a per extremitats lei dos vertèx segondaris de l'ellipsa es son axe menor.

Lei longors dau semiaxe major $a$ e dau semiaxe menor $b$ son liadas per l'excentricitat $e$ e lo paramètre $\ell$:

$b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$

$\ell =a(1-e^{2})$

$a\ell =b^{2}$

Astronomia

Periòde orbitau

En astronomia, lo semiaxe major d'una orbita elliptica es un element orbitau important. D'un biais generau, dins lo quadre dau problèma dei dos còrs, lo periòde orbitau d'un còrs de massa $m$ orbitant a l'entorn d'un autre còrs de massa $M$ es:

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}\,$

onte:

• $a$ es la longor dau semiaxe major
• $G$ es la constanta gravitacionala.

S'un dei còrs es pron pichon per que se pòsque negligir sa massa a respècte de l'autra, alora:

$T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}$

onte $\mu$ es lo paramètre gravitacionau estandard.

En aqueu cas, lo periòde es identic (quina que siá l'excentricitat) per totei lei còrs que seis orbitas an lo meteis semiaxe major.

S'obtèn donc la proporcionalitat suivante:

$T^{2}\propto a^{3}$

çò qu'es la tresena lei de Kepler.

Distància mejana

Se ditz sovent que lo semiaxe major es la distància «mejana» entre lo còrs centrau e lo còrs qu'orbita a son entorn. L'afirmacion es imprecisa, que se pòt definir mai d'una mejana:

• La mejana de la distància a respècte de l'anomalia excentrica balha efectivament lo semiaxe major.
• La mejana a respècte de l'anomalia veritabla (l'angle orbitau vertadier, mesurat en partent dau fòcus) balha lo semiaxe menor.
• La mejana a respècte de l'anomalia mejana (la fraccion dau periòde orbitau que s'es escolada a partir dau periapside, exprimida coma un angle), balha la mejana temporala (es çò que s'entend comunament per «mejana»): $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)$.

demostracion de la premiera afirmacion

Lo còrs a l'entorn dau quau orbita l'autre se situa en un fòcus de l'ellipsa. Dins lo sistèma de coordenadas definit per l'axe major e l'axe menor:

• aqueu fòcus F' a per coordenadas (c, 0)
• lo ponch M de l'ellipsa (una dei posicions dau còrs en orbita) a per coordenadas

$(a\,\cos t,\,b\,\sin t),$

onte lo reau t es l'anomalia excentrica de M, e a, b lei longors dei semiaxes.

Se nòta $\rho (t)$ la distància de F' a M :

$\rho (t)^{2}=d(F',\,M)^{2}=\left(a\,\cos t-c\right)^{2}+\left(b\,\sin t\right)^{2}=\left(a\,\cos t-c\right)^{2}+(a^{2}-c^{2})\,\sin ^{2}t$

$\left({\text{car }}a^{2}=b^{2}+c^{2}\right).$

Ansin:

$\rho (t)^{2}=\left(a^{2}\,\cos ^{2}t-2\,a\,c\,\cos t+c^{2}\right)+(a^{2}-c^{2})\,\left(1-\cos ^{2}t\right),$

çò que se simplifica en:

$\rho (t)^{2}=c^{2}\,\cos ^{2}t-2\,a\,c\,\cos t+a^{2}=\left(a-c\,\cos t\right)^{2}.$

Se ne dedutz:

$\rho (t)=|a-c\,\cos t|=a-c\,\cos t$

$\left(a-c\,\cos t>0,{\text{ estent que }}a>c{\text{ e que }}|\cos t\,|\leq 1\right).$

La mejana de la distància $\rho (t)$ a respècte de l'anomalia excentrica es per definicion:

$m={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\rho (t)\mathrm {d} t$

(quand lo reau t descriu l'interval [0, 2π], lo ponch M descriu tota l'orbita).

Fin finala:

$m={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(a-c\,\cos t\right)\mathrm {d} t=a$

$\left({\text{puei que }}\int _{0}^{2\pi }\cos t\,\mathrm {d} t=\sin 2\,\pi -\sin 0=0\right).$

Aquela mejana es efectivament egala a la longor a dau semiaxe major, QED.

 

Vejatz tanben

• Elements orbitaus:
  • Anomalia mejana
  • Argument dau periastre
  • Excentricitat orbitala
  • Inclinason
  • Longitud dau nos ascendent
  • Periapsida
  • Apoapsida