Drecha (matematicas)

En geometria, la drecha designa una linha rectilinèa, infinida e sens espessor. Dins la practica, es dessenhada sus una fuèlha per una linha drecha avent en consequéncia de limitas — aquela de la fuèlha — e una espessor — aquela del gredon.

Pels Ancians, las drechas, en matematicas e subretot en geometria, es un objècte un objècte venent sol, tan evident que se negligissiá de precisar de que se parlava. L'un dels primièrs a formalizar la nocion de drecha foguèt le Grèc Euclides dins un dels seus Elements. Amb lo desvelopament del calcul algebric e vectorial, d'autras definicions seràn apondudas. Mas es amb la naissença de las geometrias non euclidianas que se desobrissiguèt de tipes nòus de drechas, e, alara, obliguèt a far mai clar e prigond aquel concèpte.

Del punt de vista concret

« La linha drecha es lo camin mai cort per anar d'un punt cap a un autre ». Atal se definís lo segment limitat per aqueles dos punts. Enseguida se dich que tres punts son alinhats se e sonque se un d'aqueles tres punts aparten al segment determinat pels dos autres. Fin finala se nomena drecha çò definit per dos punts A e B l'ensems dels punts alinhats amb A e B, A e B inclusits.

Aquela definicion simpla sufís per las aplicacions concretas. Permet per exemple a l'ortalièr de traçar sas linhas dels plantolièrs: tendent una còrda entre dos pals, realiza una linha. Un autre imatge abitual es aquel del fial de plomb. Es a dire que dins aqueles cases, del fial tendut se negligís l'espessor.

De limitas d'aquelas definicion mena los matematicians a ne preferar d'autras. Per exemple, se consideram la Tèrra coma una esfèra, lo camin mai cort entre dos punts es pas mai una linha drecha, mas un arc de cercle. Mas, a l'escala d'un èsser uman, aquel cercle es tan grand qu'una linha drecha es de fach una bona aproximacion. La nocion del « camin mai cort » es estudiada jol nom de geodesica.

L'apròche euclidian

Definicion formala

Dins los seus elements, Euclides definís los objèctes tenent a la geometria dicha euclidiana (punt, drecha, plan, angle) e lor dona de postulats. Amb aqueles elements de basa, mena, per de demonstracions rigorosas, l'ensems de las autras proprietats.

Per Euclides:

• una linha es una longor sens largor;
• e una linha drecha es una linha egalament plaçada entre los seus punts.

Comença per una drecha finida que definís coma un segment. A besonh d'un postulat per la perlongar al delà dels seus tèrmes, d'un autre per ne provar l'existéncia (Per dos punts distints passa una drecha) e d'un autre nomenat lo cinquen postulat d'Euclides per tractar de las posicions relativas de las drechas (Se doas linhas son secantas amb una tresena de tal bias que la soma dels angles interiors d'un costat es estrictament inferior a dos angles drechs, alara aquelas doas linhas son de segur secantas d'aquel costat.)

Aplicacions

L'apròche d'Euclides es fecond, permet de demostrar fòrça teorèmas considerats coma elementaris al vejaire de las matematicas al sens modèrne del tèrme. Se pòt citar lo teorèma de Tales, lo teorèma de Pitagores o encara lo problèma de Napoleon.

Apròche algebric

Motivacions

La definicion axiomatica d'Euclides apareis tròp paura per resòlvre de familhas de problèmas. Se pòt citar istoricament aqueles associats a la construccion amb la règla e lo compàs, per exemple la triseccion de l'angle, la duplicacion del cub o encara la construccion d'un poligòn regular. Un apròche algebric es utilizat per remediar aquela dificultat. Amb la nocion de polinòmi ciclotomic, Gauss fa una avançada majora dins aquel domeni en 1801 que publica dins son libre Disquisitiones arithmeticae.

Los progrèsses de la fisica engendrèron una branca nòva de las matematicas, d'en primièr nomenada calcul infinitesimal e ara calcul diferencial. Aguèt coma primièr succès la compreneson de la mecanica celèsta. Un còp mai, la modelizacion d'Euclides es gaire sufisenta per formalizar coma cal aquel domeni.

Una nòva construccion es alara prepausada, se fonda sus d'estructuras algebricas. Los grops abelians e los còs commutatius son utilizats per definir un espaci vectorial puèi un espaci afin.

Geometria vectoriala

En geometria vectoriala, una drecha vectoriala es un espaci vectorial de dimension 1.

Se v es un vector non nul, la drecha vectoriala engendrada per ${\vec {v}}$ es l'ensemble dels vectors ${\vec {w}}$ pels quals existís un escalari k (un real per un espaci vectorial sud ℝ) k tal que

${\vec {w}}=k\cdot {\vec {v}}$.

Se dich alara que los vectors ${\vec {v}}$ e ${\vec {w}}$ son colinearis.

Geometria afina

En geometria afina, una drecha es un espaci afin de dimension 1, es a dire que l'espaci vectorial associat es una drecha vectoriala.

Se A es un punt e ${\vec {v}}$ un vector non nul, la drecha afina passant per A e de vector director ${\vec {v}}$ es l'ensemble dels punts M pels quals existís un escalari k tal que

${\overrightarrow {\mathrm {AM} }}=k\cdot {\vec {v}}$.

Se A e B son dos punts distints, la drecha (AB), passant per A e B, es l'ensemble dels baricentres dels punts A e B.

Logica e geometria

Motivacion

L'apròche algebric permet d'enriquir plan la geometria e ofrís de responsas satisfasentas a fòrça problèmas. Mas una vièlha conjectura demòra: cossí demostrar lo cinquen postulat d'Euclides. Proclos l'exprimís del biais seguent: Dins un plan, per un punt distint d'una drecha d, existís una unica drecha parallèla a d.

Ja, los grècs antics sabián qu'una esfèra sembla poder definir una geometria, las drechas serián alara los grands cercles de l'esfèra. Mas, la connexion entre una esfèra e la definicion d'una geometria demòra a aquela epòca pas possibla.

Ròtle d'Hilbert

David Hilbert dona un element de responsa. La construccion d'Euclide es pas entierament rigorosa. Manca en efièch, quinze axiòmas per bastir los fondaments d'un sistèma logic capable de suportar la geometria euclidiana. Una tala formalizacion existís, se considèra per exemple d'axiòmas d'Hilbert.

La responsa a la question que pausa lo cinquen postulat es donc de l'òrdre de la logica. La basa axiomatica d'Euclide constituida dels quatre primièrs postulats es tròp flaca per garantir lo cinquen.

Se l'apròche d'Hilbert permet de resòlvre aquela question, es pauc operacionala per bastir la teoria de la geometria euclidiana. S'utiliza mai sovent la basa axiomatica de Peano per bastir l'ensemble dels entièrs naturals puèi las diferentas estructuras algebricas utilizadas. L'interès de las òbras d'Hilbert sus aquela question es donc subretot de l'òrdre de la logica e pauc geometrica.

Geometrias non euclidianas

Longtemps abans de comprene la dimension logica de la problematica e pendent lo sègle XIX, apareguèron d'autras geometrias ont la drecha aviá pas mai las meteissa proprietats que dins la geometria euclidiana: las geometrias non euclidianas.

En geometria projectiva, de drechas parallèlas se copan en un punt impròpri e per dos punts passa pas qu'una sola drecha.

En geometria iperbolica, per un punt donat, non situat sus una drecha donada, passa al mens doas drechas que copan pas la drecha donada.

En geometria elliptica, doas drechas son totjorn secantas. Un exemple classic de geometria elliptica es la geometria sus una esfèra ont lo camin mai cort per anar d'un punt cap a un autre es una partida d'un grand cercle. Una drecha es alara definida coma un grand cercle. Doas drechas distintas se copan alara en dos punts diametralament opausats que ne forman qu'un per aquela geometria. Tanben existís la proprietat: per dos punts distints passa una sola drecha.

En mai se pòt tanben definir una drecha coma un cercle de rai infinit.

Aquela definicion es incompatibla amb aquela eissida de l'algèbra lineara. Dins aquel contèxte, se dich en general de geodesica per evitar una confusion.

Geometria analitica

Se l'espaci vectorial es dotat d'una basa, o l'espaci afin d'un repari, la drecha pòt èsser caracterizada per d'eqüacions.

Espaci afin de dimension 2

Una drecha afina es l'ensemble dels punts M de coordonadas (x ; y) tals que $ax+by+c=0\,$, ont $(a;b)\neq (0;0)$. Un vector director de la drecha es lo vector de coordonadas $(-b;a)$. L'eqüacion precedenta es nomenada eqüacion cartesiana de la drecha.

Dins aquela familha de drechas, i a:

• las drechas d'eqüacion $y=mx$ associadas a de foncions linearas de ℝ dins ℝ ;
• las drechas d'eqüacion $y=mx+p$ associadas a de foncions afinas de ℝ dans ℝ ;
• las drechas d'eqüacion $x=p$ parallèlas amb l'axe de las ordonadas.

La letra m represente lo penjal de la drecha.

Espaci afin de dimension n

En dimension n, la drecha passant per $\mathrm {A} (a_{1};a_{2};\dots ;a_{n})\,$ e de vector ${\vec {v}}(v_{1};v_{2};\dots ;v_{n})\,$ es l'ensemble dels punts $\mathrm {M} (x_{1};x_{2};\dots ;x_{n})\,$ pels quals existís un escalari k tal que

$\left\{{\begin{matrix}x_{1}=a_{1}+kv_{1}\\x_{2}=a_{2}+kv_{2}\\\cdots \\x_{n}=a_{n}+kv_{n}\end{matrix}}\right.$

Aquel sistèma d'eqüacions se nomena un sistèma d'eqüacions parametradas de la drecha.

Cas particular de l'espaci (dimension 3), en:

• Coordonadas cartesianas:

$c(t)={\begin{pmatrix}x_{0}+t\cdot x'_{0}\\y_{0}+ty'_{0}\\z_{0}+tz'_{0}\end{pmatrix}}$

• Coordonadas polaras:

${\begin{pmatrix}\theta \\{\frac {r_{1}}{\cos(\theta -\theta _{0})}}\\h_{0}+{\frac {h_{1}}{\cos(\theta -\theta _{0})}}\\\end{pmatrix}}$

Annèxas

Articles connèxes

• Segment

Bibliografia

• (fr)Introduction à la géométrie : géométrie linéaire et géométrie différentielle; Pascal Dupont, Marcel Berger; ed:De Boeck Université, 2002, isbn=978-2-8041-4072-4
• (fr)Traité de géométrie élémentaire Eugène Rouché, Charles de Comberousse ed:Gauthier-Villars; París, 1866}}