Subrejeccion

Una aplicacion subrejectiva.

Una aplicacion non subrejectiva (l'element C dau codomeni es pas dins l'imatge).

En matematicas, una subrejeccion o aplicacion subrejectiva (var. sobrejeccion, suberjeccion, o...) es una aplicacion que sei valors emplisson tot lo codomeni.

Definicion

Estent dos ensembles X e Y, una aplicacion f : X → Y es dicha subrejectiva se e solament se :

per tot element y dau codomeni Y, existís aumens un element x dau domeni X tau que f(x) = y.

Autrament dich, f es subrejectiva se e solament se son imatge f(X) es egau au codomeni Y.

Exemples e còntraexemple

• Per tot ensemble X, l'aplicacion identica de X es subrejectiva.

• L'aplicacion u : N → N definida per u(n) = Ent(n / 2) (onte per tot reau x, "Ent(x)" es la partida entiera de x) es subrejectiva : per tot element p dau codomeni N, existís aumens un element n dau domeni N tau que u(n) = p : per exemple 2 p ; mai l'element 2 p + 1 convèn tanben e se pòt verificar que per tot entier naturau p, l'eqüacion u(n) = p d'inconeguda n a pas d'autra solucion que :

n' = 2 p e n" = 2 p + 1.

• L'aplicacion v : N → N definida per v(n) = 2 n + 1 es pas subrejectiva, car (per exemple) existís ges d'entier naturau n tau que v(n) = 6. Pus explicitament, l'imatge de l'aplicacion v es l'ensemble deis entiers naturaus impars : es diferent dau codomeni N.

• La foncion f : R → [0,+∞[ definida per f(x) = x² es subrejectiva, car per tot element dau codomeni, valent a dire per tot reau positiu y, se pòt definir lo reau $x={\sqrt {y}}$ , e f(x) = y.

• La foncion g : R → R definida per g(x) = x² es pas subrejectiva, car se se chausís dins lo codomeni un reau y tau que y < 0, existís ges de reau x tau que x² = y. Pus explicitament, l'imatge de la foncion g es l'ensemble [0,+∞[ dei reaus positius : es diferent dau codomeni R.

• La foncion logaritme neperian $\ln :\;]0,+\infty [\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}$ es subrejectiva.

Proprietats

• Una aplicacion f : X → Y es subrejectiva se e solament s'existís una aplicacion g : Y → X tala que f o g siá egala a l'aplicacion identica de Y (aquesta proposicion es equivalenta a l'axiòma de la chausida).

• Se f : X → Y e g : Y → Z son d'aplicacions subrejectivas, alora l'aplicacion compausada g o f : X → Z es subrejectiva.

• Se g o f es subrejectiva, alora g es subrejectiva (mai se pòt que f o siá pas)

• f : X → Y es subrejectiva se e solament se, quinei que sián leis aplicacions g, h : Z → X, la relacion g o f = h o f implica g = h.

• Se f : X → Y es subrejectiva e B es un sosensemble de Y, alora f(f ⁻¹(B)) = B.
  Ansin, en aquest cas, se pòt retrobar B a partir de l'imatge invèrs f ⁻¹(B).

• Tota aplicacion f : X → Y pòt èsser descompausada sota la forma f = i o s, onte :
  • s : X → f(X) definida per s(x) = f(x) es subrejectiva
  • i : f(X) → Y definida per i(y) = y es injectiva (es l'injeccion canonica de l'imatge f(X) de f dins lo codomeni Y de f ).

• Tota subrejeccion indutz una bijeccion d'un ensemble quocient de son domeni vèrs son codomeni. Pus precisament, estent una aplicacion subrejectiva f : X → Y, se pòt definir ansin una relacion binària dins X : per tot pareu (x, x' ) d'elements de X :

x ~ x' se e solament se f(x) = f(x' ).

Es de bòn veire qu'es una relacion d'equivaléncia ; per tot element x de X, se notarà [x] sa classa d'equivaléncia. Coma f es constanta sus cada classa d'equivaléncia (per definicion de la relacion binària), existís una aplicacion unica f_~: X /~ → Y tala que per tot element [x] de l'ensemble quocient X /~ : f_~([x]) = f(x) (es la proprietat universala de l'ensemble quocient).

a) La subrejectivitat de f_~ resulta d'aquela de f : per tot element y de Y, existís x element de X tau que f(x) = y, donc f_~([x]) = y.

b) De mai, se [x] e [x' ] son doas classas d'equivaléncia talei que f_~([x]) = f_~([x' ]), alora f(x) = f(x' ), donc x ~ x' : se'n dedutz l'egalitat dei doas classas d'equivaléncia, donc l'injectivitat de f_~.

c) Ansin, l'aplicacion f_~: X /~ → Y es bijectiva, çò qu'èra de demostrar.

• S'existís una aplicacion subrejectiva f : X → Y, alora X a aumens tant d'elements coma Y, au sens dei nombres cardinaus.

• Se X e Y son d'ensembles finits qu'an lo meteis nombre d'elements, alora per tota aplicacion f : X → Y, lei proposicions seguentas son equivalentas :
  • f es subrejectiva
  • f es injectiva
  • f es bijectiva

Vejatz tanben

• ensemble
• aplicacion
• injeccion
• bijeccion