InternetExplorerはネット上の画像ファイルを表示するときにキャッシュとして一時保存します。
画像を右クリックで保存すると、キャッシュファイルを別名で再度保存することになります。
このときキャッシュファイルが破損していると、bmpファイルでしか保存できません。
ファイル破損のきっかけは以前InternetExplorerを終了させた際にちょうどページを読み込み中で、中途半端なキャッシュファイルが作成されてしまったことだと思います。
nvridseさんの症状が絶対にこれだとは言えませんが、ほとんどの場合これが原因です。
一度キャッシュファイルが破損されてしまうと、さらに破損されたファイルが増えやすくなります。（通し番号にダブリが出て矛盾が生じるような感じです）
解決方法は
InternetExplorerのメニューから[ツール] → [インターネットオプション] → [全般タブにて 一時ファイルの削除または履歴のクリア] とやったのちにInternetExplorerを再起動してください。
※ InternetExplorerのバージョンによってメニュー内の表記が少し異なります
どうしてもキャッシュファイルを消したくない場合はFirefoxやGoogle Chrome等の別ブラウザを使うかダウンロードツール等を使って画像をダウンロードすることをお奨めします。
お礼
IEを使用しています。 ご紹介いただきました方法をちょっとやってみてますが、 なんか良さげです。 特定のファイルで発生していたのですが、 現在のところうまくいっているようです。 なるほどそのような仕組みなのですか。 ご指摘ありがとうございます。 大変助かります。