パソコンの電源がついたままLANケーブルをパソコンに繋いでも壊れません

電源が入ったまま配線を抜き差しすることを、活線挿抜と言います。

英語ではHot swapです。これ三種類に分類できます。

1.規格上非対応だけど、故障するのは稀のもの、PS/2キーボード端子などがそうです。
2.活線挿抜できる規格だけど、ソフトウェアでの対応が必須のもの。
SATAやUSBも対応規格だけど、デバイスドライバーの非対応で、実際にはできないことがある。
3.独立した機器間の接続に使われるため、ハードウェアだけで対応できるもの。

LANケーブルというか、PCにつなぐLANケーブルは
現在では、EthenetのRJ45端子のものがほとんどですよね。

これは、大企業の3桁の機器を繋いだLANなどにも使われるものですから
活線挿抜が完全にできるように設計されています。
一台故障して繋ぎ替える間、LANを落とせとか無理ですし。
ハードウェア規格自体は、活線挿抜対応でないと話になりません。


ただ、これが適用されるのは、ハードウェアとその上のデバイスドライバーあたりまでで
実際には、PCが通信先の情報などを正常に扱え無くなり
再起動が必要になるようなことが無いとは言いきれません。
(インターフェイスを無効化して再度有効化すれば解消する程度のトラブルでも
OSによってはOSの再起動以外でこの作業ができない場合があります)

とはいえ、起きるのはたいていアプリケーションレベルのエラー程度で
再送信などで済みますけどね。

あと、大量の通信をやりとりしている環境で、PCの台数も多い場合
通信エラーの処理などで、LANのパフォーマンスが低下する
という話は聞いたことありますけど、自宅内LANでは無いと思います。

しょっちゅうやっています。

仕事で、1本しかないLANケーブルを2台で共有してとっかえひっかえしてた経験がありますが、不具合は起こりませんでした。

まったく問題ないです

壊れません。