Pokrycie zbioru

Pokryciem zbioru $Y,$ który jest zawarty w przestrzeni $X,$ nazywa się dowolną rodzinę zbiorów $(U_{s})_{s\in S}$ zawartych w $X,$ taką, że zbiór $Y$ jest zawarty w sumie elementów tej rodziny, tj. $Y\subseteq \bigcup _{s\in S}U_{s}.$ Zbiór $S$ jest zbiorem indeksów.

Uwaga: Często w definicji pokrycia żąda się, aby $Y=\bigcup _{s\in S}U_{s}.$ Dalej będziemy zakładać ten warunek.

Definicje

Pojęcie pokrycia często jest używane w kontekście topologii.

Niech $(X,\tau )$ jest przestrzenią topologiczną.

Definicja pokrycia otwartego

Pokrycie ${\mathcal {C}}\subseteq 2^{X}$ nazywa się pokryciem otwartym, gdy każdy element $C\in {\mathcal {C}}$ jest zbiorem otwartym, tj.

$\bigwedge _{C\in {\mathcal {C}}}\;C\in \tau .$

Definicja pokrycia domkniętego

Pokrycie ${\mathcal {D}}\subseteq 2^{X}$ nazywa się pokryciem domkniętym, gdy każdy element $D\in {\mathcal {D}}$ jest zbiorem domkniętym, tj.

$\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\;X\setminus D\in \tau .$

Pokrycia wpisane i podpokrycia

Niech ${\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},{\mathcal {B}}=(B_{t})_{t\in T}$ będą pokryciami zbioru $X.$

Pokrycie ${\mathcal {A}}$ nazywa się pokryciem wpisanym w pokrycie ${\mathcal {B}},$ jeśli

$\bigwedge _{s\in S}\bigvee _{t_{s}\in T}A_{s}\subseteq B_{t_{s}}.$

Pokrycie ${\mathcal {A}}'=(A'_{s})_{s\in S'}$ nazywa się podpokryciem pokrycia ${\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},$ jeśli

$S'\subset S\wedge [s\in S'\Rightarrow A_{s}'=A_{s}].$

Każde podpokrycie danego pokrycia jest w nie wpisane.

Definicja pokrycia skończonego

Pokrycie ${\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S}$ nazywa się skończonym, jeśli $S$ jest zbiorem skończonym (typowo wówczas $S=\{1,2,\dots n\}$ dla pewnego naturalnego $n$).

Zobacz też

• podział zbioru
• przestrzeń zwarta
• rodzina lokalnie skończona
• rodzina punktowo skończona