Покрытие множества

Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Обычно покрытия рассматривается в общей топологии, где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств. В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами.

Определения

• Пусть дано множество $X$. Семейство множеств $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ называется покрытием $X$, если

$X\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.$

• Пусть дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$, где $X$ — произвольное множество, а ${\mathcal {T}}$ — определённая на $X$ топология. Тогда семейство открытых множеств $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}\subseteq {\mathcal {T}}$ называется открытым покрытием множества $Y\subseteq X$, если

$Y\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.$

Связанные определения

• Если $C$ — покрытие множества $Y$, то любое подмножество $D\subset C$, также являющееся покрытием $Y$, называется подпокры́тием.
• Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие $D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}$ вписано в покрытие $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$, если

$\forall \beta \in B\;\exists \alpha \in A$ такое, что $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.$

• Покрытие $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ множества $Y$ называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки $y\in Y$ существует окрестность $U\ni y$, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов $C$, то есть множество $\{\alpha \in A\mid U_{\alpha }\cap U\not =\varnothing \}$ конечно.
• Покрытие $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ множества $Y$ называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством $U\in C$ открыто в $U$, открыто и в $Y$.
• $Y$ называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
• $Y$ называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Свойства

• Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Карта (математика)
• Нерв покрытия
• Размерность Лебега