Bikwaterniony

Bikwaterniony – liczby postaci $p\mathbf {1} +q\mathbf {i} +r\mathbf {j} +s\mathbf {k} ,$ gdzie współczynniki $p,q,r,s$ wszystkie należą do jednej z opisanych niżej „struktur quasi-zespolonych”, zaś elementy $\mathbf {1} ,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ tworzą grupę kwaternionów ze względu na mnożenie, a zarazem są przemienne ze współczynnikami (dokonawszy odpowiednich utożsamień element $\mathbf {1}$ zwykle pomija się w zapisie). Ze względu na rodzaj liczb pełniących rolę współczynników wyróżnia się:

• bikwaterniony (klasyczne, zwykłe), w przypadku liczb zespolonych,
• bikwaterniony podwójne, w przypadku liczb podwójnych,
• bikwaterniony dualne, w przypadku liczb dualnych.

William Rowan Hamilton, który opisał je jako pierwszy (1844), nazywał je biwektorami, ale znane są też pod nazwą kwaternionów zespolonych , co wynika z wprost z ich konstrukcji: można je uważać za kwaterniony, w których współczynniki są nie liczbami rzeczywistymi, a zespolonymi (lub quasi-zespolonymi).

Wraz z działaniami dodawania po współrzędnych oraz mnożenia zgodnego z grupą kwaternionów zbiór bikwatenionów tworzy czterowymiarową algebrę nad ciałem liczb zespolonych. Jest ona łączna, ale nie przemienna; ponadto każdy bikwaternion jest albo dzielnikiem jedynki (jednością), albo dzielnikiem zera. Z punktu widzenia algebry abstrakcyjnej są one kompleksyfikacją kwaternionów, czyli iloczynem tensorowym liczb zespolonych i kwaternionów (odpowiednio jako algebry nad sobą jako ciałem i algebry z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi).

Bikwaterniony wykorzystuje się podczas rozwiązywania równań Maxwella. Quasi-sfera jednostkowa bikwaternionów umożliwia reprezentację grupy Lorentza leżącej u podstaw szczególnej teorii względności.

Bibliografia

• William Hamilton: Elements of Quaternions. Londyn: Longsmans, Green, & Co., 1866.
• Rafał Abłamowicz, Lounesto Pertti: Clifford Algebras and Spinor Structures. Springer Sciense+Business Media Dordrecht, 1995.
• Stephen J. Sangwine, Todd A. Ell, Nicolas Le Bihan. Fundamental Representations and Algebraic Properties of Biquaternions or Complexified Quaternions. „Advances in Applied Clifford Algebras”. 21 (3), s. 607–636, September 2011. DOI: 10.1007/s00006-010-0263-3. arXiv:1001.0240. (ang.).