Dyskretna transformata Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform, DFT) – transformata Fouriera wyznaczona dla sygnału próbkowanego, a więc dyskretnego.

Dyskretna transformata Fouriera

DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału $(a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{N-1}),\ a_{i}\in \mathbb {R}$ w ciąg harmonicznych: $(A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{N-1}),\ A_{i}\in \mathbb {C}$ zgodnie ze wzorem:

$A_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}w_{N}^{-kn}},\ 0\leqslant k\leqslant N-1,$

$w_{N}=e^{i{\frac {2\pi }{N}}},$

gdzie:

$i$ – jednostka urojona,

$k$ – numer harmonicznej,

$n$ – numer próbki sygnału,

$a_{n}$ – wartość próbki sygnału,

$N$ – liczba próbek.

Przekształcenie odwrotne

Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:

$a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{A_{k}w_{N}^{kn}},\ 0\leqslant n\leqslant N-1.$

Postać macierzowa DFT

Wzory na przekształcenie proste, jak i odwrotne, można zdefiniować w postaci macierzowej, odpowiednio w sposób następujący:

$\mathbf {A} =\mathbf {Ma}$

$\mathbf {a} =\mathbf {WA}$

Macierze $a,$ $A,$ $M,$ $W$ mają następującą postać:

$\mathbf {a} =\left[{\begin{matrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N-1}\end{matrix}}\right]\qquad \mathbf {A} =\left[{\begin{matrix}A_{0}\\A_{1}\\\vdots \\A_{N-1}\end{matrix}}\right]$

$\mathbf {M} =\left[{\begin{matrix}w_{N}^{-0\cdot 0}&w_{N}^{-1\cdot 0}&\dots &w_{N}^{-(N-1)\cdot 0}\\w_{N}^{-0\cdot 1}&w_{N}^{-1\cdot 1}&\dots &w_{N}^{-(N-1)\cdot 1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{N}^{-0\cdot (N-1)}&w_{N}^{-1\cdot (N-1)}&\dots &w_{N}^{-(N-1)(N-1)}\end{matrix}}\right]\qquad \mathbf {W} ={\frac {1}{N}}\left[{\begin{matrix}w_{N}^{0\cdot 0}&w_{N}^{1\cdot 0}&\dots &w_{N}^{(N-1)\cdot 0}\\w_{N}^{0\cdot 1}&w_{N}^{1\cdot 1}&\dots &w_{N}^{(N-1)\cdot 1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{N}^{0\cdot (N-1)}&w_{N}^{1\cdot (N-1)}&\dots &w_{N}^{(N-1)(N-1)}\end{matrix}}\right]$

Macierze $M$ i $W$ mają wymiar $N\times N$ oraz spełniają warunek $W=M^{-1}$ lub zapisując inaczej $WM=I,$ gdzie $I$ – macierz jednostkowa.

Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera

Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera w punkcie $(m,n)$ definiuje się jako:

$V(m,n)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}{U(x,y)w_{N}^{-ny}w_{M}^{-mx}}.$

Przekształcenie odwrotne:

$U(x,y)={\frac {1}{NM}}\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}{V(m,n)w_{N}^{ny}w_{M}^{mx}}.$

Dwuwymiarowa transformata Fouriera wykorzystywana jest m.in. do cyfrowego przetwarzania obrazów.

Powiązanie z transformatą Z

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. DTF może być wyznaczona przez określenie wartości transformaty Z:

$X(z)$ dla $z=e^{j\omega }$

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Zobacz też

• cyfrowe przetwarzanie sygnałów
• dyskretna transformata kosinusowa
• matematyka dyskretna
• szybka transformata Fouriera

Linki zewnętrzne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].