Koniunkcja (logika)

Koniunkcja – zdanie złożone mające postać p i q, gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: $p\,\land \,q.$ Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać $p_{1}$ i... i $p_{n}.$ Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i q. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są zdaniami prawdziwymi. Niekiedy słowo koniunkcja odnosi się również do spójnika.

Definicja

Niech $\mathbb {B}$ będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: $\mathbb {B} =\{0,1\}.$ Koniunkcja $\land \,:\mathbb {B} \times \mathbb {B} \to \mathbb {B}$ jest funkcją dwuargumentową ze zbioru $\mathbb {B} \times \mathbb {B}$ w zbiór $\mathbb {B}$, określoną następująco:

$p\land q=\min(p,q)$

lub równoważnie

$p\land q=p\cdot q$.

Działanie to pozostaje w ścisłym związku z działaniem iloczynu zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań za pomocą koniunkcji jest też nazywane iloczynem logicznym, a jego zdania składowe nazywane są czynnikami koniunkcji. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej czynniki p, q są zdaniami prawdziwymi.

Tablica prawdy dla koniunkcji:

$p$	$q$	$p\land q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe, 0 – fałszywe

Oznaczenia

Zestawienie symboli koniunkcji, stosowanych przez różnych autorów:

	Schröder Peirce	Peano Russell	Hilbert	Łukasiewicz
Koniunkcja	$p\cdot q$	$p\,.q$	$p\,\&\,q$	$Kpq$

Do oznaczenia koniunkcji stosowany jest także angielski spójnik AND (symbol funkcji boolowskiej).

Własności

Koniunkcja jest operacją dwuargumentową i charakteryzuje się następującymi cechami:

• przemienność

$p\,\land \,q\,\Leftrightarrow \,q\,\land \,p$

• łączność

$p\,\land \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\land \,r$

• idempotentność

$p\,\land \,p\,\Leftrightarrow \,p$

• rozdzielność względem alternatywy

$p\,\land \,(q\,\lor \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\lor \,(p\,\land \,r)$

$p\,\lor \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\lor \,q)\,\land \,(p\,\lor \,r)$

• prawa De Morgana

$\neg \,(p\,\land \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\lor \,\neg \,q)$

$\neg \,(p\,\lor \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\land \,\neg \,q)$

Negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji, natomiast negacja alternatywy – koniunkcji negacji.

Przykłady

• Koniunkcja $(2+2=4)\wedge (3+1=5)$ jest fałszywa, gdyż wartość logiczna zdania drugiego to 0 (fałsz), a jak wynika z tablicy prawdy koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba warunki są spełnione (to znaczy oba zdania składowe posiadają wartość logiczną równą 1, czyli „prawda”).
• Koniunkcja $(2+2=4)\wedge (3+1=4)$ jest prawdziwa, gdyż oba zdania mają wartość logiczną równą 1 (prawda).
• „Krzyś lubi pomarańcze”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (prawda)
• „Krzyś NIE lubi pomarańczy”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (fałsz)

Koniunkcja binarna

Uproszczony schemat bramki logicznej AND.

W informatyce operację koniunkcji binarnej (ang. bitwise AND) stosuje się do par liczb naturalnych wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Wynik zawiera jedynki na tych pozycjach, na których w obydwu ciągach występowała jedynka, na przykład:

	14 & 4
=	0001110 & 0000100	(liczby w systemie binarnym)
=	0000100	(efekt operacji na kolejnych cyfrach)
=	4	(wynik w postaci dziesiętnej)

W fizycznych układach logicznych funkcji koniunkcji odpowiada bramka logiczna AND (iloczyn bitowy).

Koniunkcja a język naturalny

Symbol $\land$ odpowiada zasadniczo spójnikowi i (a także jego synonimom: oraz i tudzież). Słowo i może jednak posiadać dodatkowe odcienie znaczeniowe, których koniunkcja logiczna nie uwzględnia.

Spójnik i może sugerować wzajemność: Alicja i Bob rozmawiali przez telefon nie oznacza dokładnie tego samego, co Alicja rozmawiała przez telefon i Bob rozmawiał przez telefon.

Słowo i może także oznaczać następstwo czasowe (i następnie) lub związek przyczynowo-skutkowy (i w wyniku tego). Zdanie Mary wyszła za mąż i urodziła dziecko opisuje inną sytuację, niż Mary urodziła dziecko i wyszła za mąż. Podobnie różnią się znaczeniem zdania Tom wziął się do roboty i znalazł wreszcie pracę oraz Tom znalazł wreszcie pracę i wziął się do roboty.

Zobacz też

• alternatywa
• binegacja

Bibliografia

• Stephen C. Kleene: Mathematical logic. New York: Wiley, 1967. OCLC 523472.
• Andrzej Stanisław Mostowski: Logika matematyczna. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
• Peter F. Strawson: Introduction to logical theory. London: Methuen, 1952. OCLC 373139.