Macierz kowariancji

Macierz kowariancji – uogólnienie pojęcia wariancji na przypadek wielowymiarowy. Macierz taka dla wektora losowego $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ ma postać:

$\Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\cdots &\sigma _{1n}\\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\cdots &\sigma _{2n}\\\vdots &\cdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n1}&\sigma _{n2}&\cdots &\sigma _{n}^{2}\end{bmatrix}}$

gdzie:

$\sigma _{i}^{2}=D^{2}X_{i}$ – wariancja zmiennej $X_{i},$

$\sigma _{ij}=\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})$ – kowariancja między zmiennymi losowymi $X_{i}$ i $X_{j}.$

Własności macierzy kowariancji

• Macierz $\Sigma$ jest macierzą symetryczną.
• $\det \Sigma \geqslant 0$ (wyznacznik macierzy kowariancji jest nieujemny).
• Jeżeli $\det \Sigma =0,$ to wektor jest zdegenerowany.